Forskjell mellom versjoner av «Polynomdivisjon»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
| Linje 4: | Linje 4: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1'''<p></p> | '''Eksempel 1'''<p></p> | ||
| − | <math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=</ | + | <math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=</math> |
Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x<sup>4</sup>? Svaret er 4x<sup>3 </sup>som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x3 må også multipliseres med 1. | Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x<sup>4</sup>? Svaret er 4x<sup>3 </sup>som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x3 må også multipliseres med 1. | ||
| Linje 11: | Linje 11: | ||
8x^4+4x^3 | 8x^4+4x^3 | ||
\qquad\qquad \qquad | \qquad\qquad \qquad | ||
| − | </ | + | </math> |
Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:<p></p> | Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:<p></p> | ||
<math>\qquad | <math>\qquad | ||
| Linje 19: | Linje 19: | ||
6x^3+3x^2+2x+1 \\ | 6x^3+3x^2+2x+1 \\ | ||
\qquad\qquad \qquad | \qquad\qquad \qquad | ||
| − | </ | + | </math><p></p> |
Slik fortsetter man og får:<p></p> | Slik fortsetter man og får:<p></p> | ||
<math>\qquad | <math>\qquad | ||
| Linje 29: | Linje 29: | ||
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \\ | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \\ | ||
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \\ | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \\ | ||
| − | </ | + | </math><p></p> |
I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp. | I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp. | ||
| Linje 42: | Linje 42: | ||
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \\ | \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \\ | ||
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \\ | \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \\ | ||
| − | \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \\</ | + | \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \\</math><p></p> |
| − | Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til <math>f(t) = \frac{t^3 - 4t^2 - 8t + 13}{t-1}</ | + | Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til <math>f(t) = \frac{t^3 - 4t^2 - 8t + 13}{t-1}</math>. Man observerer at |
| − | <math>g(t) = t^2-3t-11</ | + | <math>g(t) = t^2-3t-11</math> er en asymptote til f(t). I tillegg er t = 1 en vertikal asymptote til f. Grafen til g er stiplet rød.<p></p> |
[[Bilde:asymp1.png]]<p></p> | [[Bilde:asymp1.png]]<p></p> | ||
| Linje 50: | Linje 50: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
| − | <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</ | + | <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math><p></p> |
Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.<p | Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.<p | ||
></p> | ></p> | ||
| − | Når man dividerer polynomet P(x) med <math>(x-x_0)</ | + | Når man dividerer polynomet P(x) med <math>(x-x_0)</math> blir resten <math> r= P(x_0) </math> |
</blockquote> | </blockquote> | ||
| Linje 59: | Linje 59: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
| − | P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren <math>(x-x_0) \Leftrightarrow P(x_0)=0</ | + | P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren <math>(x-x_0) \Leftrightarrow P(x_0)=0</math><p></p><p></p><p></p> |
| − | P(x) er et polynom. Dersom divisjonen <math> P(x):(x-x_0)</ | + | P(x) er et polynom. Dersom divisjonen <math> P(x):(x-x_0)</math> går opp <math> \Leftrightarrow P(x_0) = 0</math> |
<p></p> | <p></p> | ||
| Linje 69: | Linje 69: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 3'''<p></p> | '''Eksempel 3'''<p></p> | ||
| − | Er (x+1) en faktor i polynomet<math>P(x) = 2x^3-2x^2-3x+1</ | + | Er (x+1) en faktor i polynomet<math>P(x) = 2x^3-2x^2-3x+1</math> ?<p></p> |
Da må P(-1)= 0 <p></p> Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0 <p></p> (x+1) er en faktor i P<p></p> | Da må P(-1)= 0 <p></p> Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0 <p></p> (x+1) er en faktor i P<p></p> | ||
Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp. | Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp. | ||
Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Polynomdivisjon kan blant annet brukes til å faktorisere og forenkle et brøkuttrykk.
Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon.
Eksempel 1
<math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=</math>
Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x4? Svaret er 4x3 som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x3 må også multipliseres med 1.
<math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ 8x^4+4x^3 \qquad\qquad \qquad </math>
Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:
<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad \qquad
</math>
Slik fortsetter man og får:
<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad-(6x^3+3x^2) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2x + 1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \\
</math>
I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp.
La oss se på et eksempel der divisjonen ikke går opp. Det betyr at man får en rest.
Eksempel 2
<math>\qquad(t^3 - 4t^2 - 8t + 13):(t-1)= t^2 -3t - 11 + \frac{2}{t-1} \\ -(t^3-t^2) \\ \qquad\qquad\qquad -3t^2 - 8t + 13 \\ \qquad\qquad -(-3t^2 + 3t) \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \\
\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \\</math>
Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til <math>f(t) = \frac{t^3 - 4t^2 - 8t + 13}{t-1}</math>. Man observerer at
<math>g(t) = t^2-3t-11</math> er en asymptote til f(t). I tillegg er t = 1 en vertikal asymptote til f. Grafen til g er stiplet rød.
<math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math>
Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.
Når man dividerer polynomet P(x) med <math>(x-x_0)</math> blir resten <math> r= P(x_0) </math>
P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren <math>(x-x_0) \Leftrightarrow P(x_0)=0</math>
P(x) er et polynom. Dersom divisjonen <math> P(x):(x-x_0)</math> går opp <math> \Leftrightarrow P(x_0) = 0</math>
Eksempel 3
Er (x+1) en faktor i polynomet<math>P(x) = 2x^3-2x^2-3x+1</math> ?
Da må P(-1)= 0
Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0
(x+1) er en faktor i P
Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp.
