Forskjell mellom versjoner av «Polynom»
(Ny side: Et polymon er en funksjon på formen <tex>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</tex> der <tex>a_i</tex> kalles koeffisientene til funksjonen og <tex>n...) |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
| (2 mellomliggende revisjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
Et polymon er en funksjon på formen | Et polymon er en funksjon på formen | ||
| − | < | + | <math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</math> |
| − | der < | + | der <math>a_i</math> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</math> kalles funksjonens grad. |
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1:'''<br><br> | '''Eksempel 1:'''<br><br> | ||
| − | < | + | <math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</math> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2. |
</blockquote> | </blockquote> | ||
| Linje 16: | Linje 16: | ||
Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen | Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen | ||
| − | < | + | <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math> |
| − | + | Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4. | |
Et tilfelle av polynomligninger er [[andregradslikninger]]. | Et tilfelle av polynomligninger er [[andregradslikninger]]. | ||
| + | |||
| + | ==Faktorisering== | ||
| + | |||
| + | Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</math> kan faktoriseres til et produkt | ||
| + | |||
| + | <math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</math> | ||
| + | |||
| + | der <math>x_k</math> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen | ||
| + | |||
| + | <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math> | ||
| + | |||
| + | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
| + | '''Eksempel 1:'''<br><br> | ||
| + | |||
| + | <math>P(x)=2x^2+2x-4</math> | ||
| + | |||
| + | Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</math> er <math>x=1</math> og <math>x=-2</math> | ||
| + | |||
| + | .Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til | ||
| + | |||
| + | <math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</math> | ||
| + | |||
| + | </blockquote> | ||
Nåværende revisjon fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Et polymon er en funksjon på formen
<math>f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0</math>
der <math>a_i</math> kalles koeffisientene til funksjonen og <math>n</math> kalles funksjonens grad.
Eksempel 1:
<math>f(x)=3x^3+4x^2-x+2</math> er et tredjegrads polynom med koffisienter 3, 4, -1 og 2.
Polynomligninger
Et polynomligning er en ligning der et polynom settes likt et annet. Slike ligninger har formen
<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math>
Enhver n'tegrads polynomlikning har n komplekse løsninger, men generelle løsninger for polynomligninger finnes kun for ligninger av grad 1 til 4.
Et tilfelle av polynomligninger er andregradslikninger.
Faktorisering
Et polynom <math>P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i</math> kan faktoriseres til et produkt
<math>P(x)=a_n\prod_{k=1}^n x-x_k=a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2})...(x-x_2)(x-x_1)</math>
der <math>x_k</math> er røttene til polynomet, dvs. løsningene til ligningen
<math>\sum_{i=0}^na_ix^i=0</math>
Eksempel 1:
<math>P(x)=2x^2+2x-4</math>
Løsningene til likningen <math>2x^2+2x-4=0</math> er <math>x=1</math> og <math>x=-2</math>
.Dette er røttene til polynomet. Dermed kan vi faktorisere det til
<math>P(x)=2(x-1)(x-(-2))=2(x-1)(x+2)</math>
