Plan i rommet

Et plan i rommet er beskrevet ved ligningen

<tex>ax+by+cz=d</tex>

Dvs. at hver kvadruppel (a,b,c,d) svarer til et bestemt plan, og alle punkter (x,y,z) som tilfredsstiller ligningen vil være et punkt i dette planet.

Utledning av ligningen for planet

Lar vi vektoren <tex>\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)</tex> være enhetsnormalvektoren til planet og vektoren <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex> være et punkt i planet, ser vi at skalarproduktet

<tex>\vec{n}\cdot\vec{r}=l</tex>

der <tex>l</tex> er avstanden fra origo til planet. Skriver vi ut denne ligninga og kaller <tex>\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot l\equiv d</tex> får vi

<tex>ax+by+cz=\sqrt{a^2+b^2+c^2}l=d</tex>.

Parameterfremstilling av plan i rommet

Hvordan vi parametriserer avhenger litt av orienteringen til planet. La oss se på et plan som ikke står normalt på xy-planet, dvs. at <tex>c\neq 0</tex> i den generelle ligningen. Da kan vi skrive om ligningen for det generelle planet slik at z blir en funksjon av x og y. Ved å la <tex>x=x(s)=s</tex> og <tex>y=y(t)=t</tex> kan vi uttrykke z som en funksjon av parametrene. Parameterfremstillingen blir dermed:

<tex>z=z(s,t)=\frac{-a}{c}s-\frac{b}{c}t+\frac{d}{c}</tex>

På vektorform blir dette <tex>\vec{r}=(s,t,z(s,t))=(s,t,\frac{-a}{c}s-\frac{b}{c}t+\frac{d}{c})</tex>

Beregning av enhetsnormalvektoren til et plan

Dersom vi kjenner koordinatene til tre punkter som utspenner planet (dvs. tre punkter i planet som ikke ligger på en linje) kan vi finne normalvektoren ved å bruke vektorproduktet. Dersom punktene i planet er gitt ved <tex>(x_1,y_1,z_1)</tex>, <tex>(x_2,y_2,z_2)</tex> og <tex>(x_3,y_3,z_3)</tex> regner vi først ut to vektorer som ligger i planet, f.eks.

<tex>\vec{v_1}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)</tex>, <tex>\vec{v_2}=(x_3,y_3,z_3)-(x_1,y_1,z_1)</tex>

Tar vi vektorproduktet <tex>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex> vet vi at dette vil være en vektor som står normalt på de to (ikke-parallelle) vektorene i planet, altså vil vektorproduktet stå normalt på planet. Normaliserer vi kryssproduktet finner vi enhetsnormalvektoren. Merk at denne vil peke i én av to mulige retninger avhengig av rekkefølgen på vektorene i kryssproduktet.

Ligningen til planet utspent av tre gitte punkt

La oss si at vi har fått oppgitt tre punkter, <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex>, <tex>\vec{r_3}</tex> i rommet som ikke ligger på en linje. Da vil disse utspenne et plan. Hvordan kan vi finne ligninen for dette planet?

Vi starter med å beregne enhetsnormalvektoren <tex>\vec{n}</tex> som beskrevet over. Deretter beregner vi skalarproduktet <tex>\vec{n}\cdot \vec{r_1}</tex>. Da vil ligningen bli

<tex>\vec{n}\cdot (x,y,z)=\vec{n}\cdot \vec{r_1}</tex>

Parallelle plan

Å sjekke om to gitte plan er parallelle er ekvivalent med å sjekk om de tilhørende normalvektorene er parallelle, evt. kan man beregne vektorproduktet av normalvektorene. Dersom vektorproduktet er 0 er planene parallelle.

Skjæringen av ikke-parallelle plan

Har vi gitt to ikke-parallelle plan vil disse skjære hverandre i en rett linje. Hvordan kan vi finne ligningen for denne linja?

Dersom planene har normalvektorer <tex>\vec{n_1}</tex> og <tex>\vec{n_2}</tex> vil vektorproduktet <tex>\vec{n_1}\times \vec{n_2}</tex> være parallell med skjæringslinja. Kjenner vi ett punkt på denne linja, si <tex>\vec{r_0}</tex> kan vi enkelt finne en parameterfremstilling av linja:

<tex>\vec{r}(t)=\vec{n_1}\times \vec{n_2}t+\vec{r_o}</tex>