Forskjell mellom versjoner av «Plan i rommet»

Revisjonen fra 9. feb. 2010 kl. 18:06

Et plan i rommet er beskrevet ved ligningen

Dvs. at hver kvadruppel (a,b,c,d) svarer til et bestemt plan, og alle punkter (x,y,y) som tilfredsstiller ligningen vil være et punkt i dette planet.

Utledning av ligningen for planet

Lar vi vektoren <tex>\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)</tex> være enhetsnormalvektoren til planet og vektoren <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex> være et punkt i planet, ser vi at skalarproduktet

der <tex>l</tex> er avstanden fra origo til planet. Skriver vi ut denne ligninga og kaller <tex>\sqrt{a^2+b^2+c^2}l\equiv d</tex> får vi

<tex>ax+by+cz=\sqrt{a^2+b^2+c^2}l=d</tex>.

@@ Linje 5: / Linje 5: @@
-Dvs. at hver kvadruppel (a,b,c,d) svarer til et bestemt plan, f.eks. er <tex>xy</tex>-planet beskrevet ved at <tex>z=0</tex>, dvs. at <tex>a=b=d=0</tex>. Da ser vi at verdien av c ikke spiller noen rolle så lenge den ikke er 0 siden vi kan dele ligningen med <tex>c</tex> (ligningene <tex>z=0</tex> og <tex>3z=0</tex> vil naturligvis beskrive det samme planet siden vi kan dele den siste med <tex>3</tex> for å oppnå den første).
+Dvs. at hver kvadruppel (a,b,c,d) svarer til et bestemt plan, og alle punkter (x,y,y) som tilfredsstiller ligningen vil være et punkt i dette planet.
+== Utledning av ligningen for planet ==
+Lar vi vektoren <tex>\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)</tex> være enhetsnormalvektoren til planet og vektoren <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex> være et punkt i planet, ser vi at skalarproduktet
+:<tex>\vec{n}\cdot\vec{r}=l</tex>
+der <tex>l</tex> er avstanden fra origo til planet. Skriver vi ut denne ligninga og kaller <tex>\sqrt{a^2+b^2+c^2}l\equiv d</tex> får vi
+:<tex>ax+by+cz=\sqrt{a^2+b^2+c^2}l=d</tex>.