Periodiske funksjoner

En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <tex>x+d\in I</tex>). Da vil også <tex>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</tex>.

Eksempel

<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>. Vi sier gjerne at <tex>\sin(x)</tex> er <tex>2\pi</tex> -periodisk eller at bølgelengden er <tex>2\pi</tex>.

Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk med samme periode.

Bevis

La <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> være to funksjoner med periode <tex>d</tex> definert på den reelle tallinja. Da er <tex>f(x+d)=f(x)</tex> og <tex>g(x+d)=g(x)</tex> for alle reelle <tex>x</tex>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <tex>h(x)=f(x)+g(x)</tex>, ser vi at <tex>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</tex>, så <tex>h(x)</tex> har egenskapen til en periodisk funksjon.

Perioden til en gitt funksjon <tex>f(x)</tex> er den minste verdien av <tex>d</tex> slik at <tex>f(x+d)=f(x)\,\forall x</tex>.

Eksempel

Ser vi på produktet <tex>f(x)=\sin(x)\cos(x)</tex> vil <tex>f(x+2\pi)=f(x)</tex>, men funksjonen vil også oppfylle <tex>f(x+\pi)=f(x)</tex>, så perioden til funksjonen vil være <tex>d=\pi</tex>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <tex>2\pi</tex> -periodiske funksjoner har periode <tex>2\pi</tex>.

Periodisk utvidelse

Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <tex>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

Eksempel

Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.