Periodiske funksjoner

En periodisk funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I</tex> med periode <tex>d</tex> er kjennetegnet ved at <tex>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</tex> (gitt at <tex>x+d\in I</tex>).

Eksempel

<tex>f(x)=\sin(x)</tex> på <tex>\mathbb{R}</tex> med periode <tex>d=2\pi</tex>. Det er evident at <tex>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</tex>.

Periodisk utvidelse

Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <tex>\mathbb{R}</tex> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

Eksempel

Ser vi på restriksjonen av <tex>f(x)=x</tex> på intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <tex>\mathbb{R}</tex> gjennom å kreve at <tex>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</tex>. Det vi har gjort er å utvide domenen til funksjonen fra det halvåpne intervallet <tex>\langle 0,1]</tex> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex> blir periodisk.