Parabel

Parabelen tilhører familien av kurver som vi kaller for kjeglesnitt. Vi kan tenke oss at vi snitter en kjegle på følgende måte:

Snittflatens kant har form som en parabel.

En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.

Dersom a er større enn null vender parabelen sin hule side oppover (den "smiler").

Dersom a er mindre enn null vender parabelen sin hule side nedover (den er "sur").

En parabel er symmetrisk om en linje som går gjennom toppunktet eller bunnpunktet.

Symmetrilinjen er gitt ved:

Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.

LITT MER OM PARABELEN

Geometrisk er en parabel mengden av alle punkter som ligger like langt fra en gitt linje og et gitt punkt. I matematisk litteratur fremstilles ofte parabelen med toppunktet enten til høyre eller til venstre. Om man tegner en vertikal styrelinje og et vilkårlig punkt F et sted i planet, men ikke på styrelinjen, kan det se slik ut:

Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, p/2. Parabelen kan da uttrykkes ved:

(1) y2 = 2px

(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)

Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at:

d1 = d1'

d2 = d2'

d3 = d3'

og så videre.

Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet:

Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje.

Alle parabler har eksentrisitet 1.

Fra figuren ser vi at:

d1'/d1 = d2'/d2 = d3'/d3 = 1

EKSEMPEL

La oss ta utgangspunkt i funksjonen

f(x) = -0,2x2

Vi bytter f (x) med Y og får

Y = -0,2x2

som gir:

x2 = -5Y

Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

x2 = 2(-5/2)Y

p er altså -5/4 hvilket betyr at koordinatene til F er (0,-5/4) som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet y = 5/4.

Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

y2 = -5Y

y2 = 2(-5/2)x

Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:

Så langt har parablene hatt toppunktet i origo. En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)

Da gjelder følgende sammenheng:

(2) (y - k)2 = 2p(x - h)

Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0

Vi ser at p =1, h = -1 og k =3/2. Det gir F(-1/2,3/2), Toppunkt i P(-1,3/2), symmetrilinje for y = 3/2 og styringslinje for x = -2.

Parabelen har spesielle refleksjonsegenskaper. alle stråler som kommer inn parallelt med symmetrilinjen og treffer parabelen reflekteres gjennom brennpunktet. Dette gir grunnlag for parabolantenner, solovner, solkraftverk, speillinser og mye mer.