Linjer i rommet

Linjer som skjæringen mellom to plan

Vi kan definere en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være definert som alle punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet

<tex>a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2</tex>

Her ser vi at vi kan eliminere en av variablene slik at vi får én ligning med to ukjente.F.eks. kan vi eliminere z slik at vi får en ligning på formen g(x,y)=0. Finner vi punkter x og y som tildfredsstiller denne, kan vi substituere tilbake i en av de to opprinnelige ligningene for å finne z verdien.

Parameterfremstilling av linjer i rommet

En annen måte å beskrive linjer i rommet på er via parameterfremstillinger. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen

<tex>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</tex>,

der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.