Likningsett

Et likningssett er en samling (to eller flere) likninger i én eller flere variabler.
Ligningen 2X + 7 = 13 har en ukjent, x, og løses lett med metodene beskrevet i kapittelet om ligninger med en ukjent.
Vi kan ha flere ukjente, for eksempel to.
Y = 2X + 1

Her er både X og Y ukjente.

Ligningen har uendelig mange løsninger. Ligningen er et funksjonsutrykk for en rett linje.
Dersom ligninger med flere ukjente skal ha entydige løsninger må man ha like mange ligninger som man har ukjente.
Dersom vi har to ligninger med to ukjente, kalles dette et sett med ligninger, eller et ligningssett.

Y = 2X + 1
Y = - X + 4
Ligningene hører sammen. Målet er å finne en X- verdi og en Y- verdi som passer i begge.

Lineære likningssett

Lineære likningsett er likningssett som har variabler av første grad, som x og y. Vanlige løsningsmetoder er addisjonsmetoden, substitisjonsmetoden, og grafisk løsning.

Løsningsmetoder

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden går som navnet tilsier ut på å legge sammen ligningene slik at vi får X eller Y til å forsvinne. La oss legge sammen ligning (1) og (2). Vi ser at verken X eller Y forsvinner sånn uten videre. Men, om vi først multipliserer ligning (2) med 2 ser vi at vi oppnår det vi ønsker. Vi får:

Vi setter inn Y = 3 i en av ligningene og får X = 1.

I beste fall kan vi addere ligningene direkte. Dersom den ukjente har en faktor med samme absoluttverdi, men med motsatt fortegn er det tilfelle.

Eksempel:

<tex> -y = x - 5</tex>

<tex> y = x - 3</tex>

Adder direkte og får

<tex> 0 = 2x - 8</tex>

<tex> x=4</tex>

Setter inn x=4 i en av ligningene og får y = 4-3 =1
x = 4 og y = 1

Eksempel:

<tex> 2y = x + 4 </tex>

<tex> y =-x + 5</tex>

Multipliser ligning to med minus to, før addisjon.

<tex> 2y = x + 4</tex>

<tex> -2y = 2x - 10</tex>

Legger sammen og får:
<tex> 0=3x - 6</tex>

<tex> x = 2</tex>

Setter man x=2 gir det at y = 3

I nest beste fall må man multiplisere en av ligningene slik at den ukjente forsvinner ved addisjon.

---

Innsatt i en av ligningene gir det y = -2 + 5 = 3 x = 2 og y = 3 I verste fall må begge ligningene multipliseres med det som gir faktorenes minste multiplum.

Eks 3:

3y = 6x - 3

2y = -2x + 4

---

Minste felles multiplum til 2 og 3 er 6, hvilket betyr at første ligning multipliseres med 2 og den andre med 3.

3y = 6x - 3 | 2

2y = -2x + 4 | (-3)

---

6y = 12x - 6

-6y = 6x - 12

---

0 = 18x - 18

x = 1

Innsatt x =1 i ligningene over gir y =1 x =1 og y = 1

Innsettingsmetoden

Denne metoden går ut på å erstatte Y i den ene ligningen med utrykket som inneholder X i den andre. Y (og X) har samme verdi i begge ligningene, derfor kan vi gjøre dette. I stede for Y i ligning (2) setter vi inn høyre siden av ligning (3). Vi får da:

Setter vi X = 1 inn i en av de to ligningene, samme hvilken , ser vi at vi får Y = 3.

Vi har nå funnet at løsningen til ligningssettet er X = 1 og Y = 3.

<tex> l</tex>

Eksempel

<tex> 2y = x + 1 </tex>

<tex> 3y = 7x - 4 </tex>

Løser første ligning med hensyn på x:

<tex> x = 2y - 1 </tex>

<tex> 3y = 7x - 4 </tex>

Setter uttrykket for x inn i ligning to.

<tex> 3y = 7(2y -1) -4 </tex>

<tex> 3y = 14y - 7 - 4 </tex>

<tex> -11y = -11 </tex>

<tex> y = 1 </tex>

Innsatt i en av ligningene over gir det x = 1

x = 1 og y = 1

Grafisk løsning

Grafisk løsning av likningsett

Grafisk løsning vil si at den enkelte likning plottes i et koordinatsystem der y er en funkslon av x. Der grafene krysser hverandre finner man løsningen for x og y.

Et likningsett er gitt ved:

<tex> 3y-3 = 1,5x</tex>

<tex> y = -0,5x + 3</tex>

---

<tex> 3y-3 = 1,5x</tex>

<tex> y = -0,5x + 3</tex>

Dersom du får i oppgave å løse et ligningsett er det likegyldig hvilken metode du bruker, alle tre gir samme svar. Du bør allikevel beherske alle metodene da du ofte blir bedt om å løse ligningssettet ved hjelp av en spesiell metode.