Likninger

Her vil du finne en oversikt over de typer likninger som behandles på matematikk.net.

Innledning

I matematikk er det vanlig å bruke bokstaver som erstatning for tallverdier. Bokstaver kan symbolisere tall som vi kjenner, for eksempel π som har tallverdi 3,14. Bokstavene kan også symbolisere tallverdier som vi ikke kjenner, men som vi ønsker å finne. I slike tilfeller bruker vi gjerne bokstavene x, y eller z.

I et spesielt regnestykke kan x kun ha en tallverdi, men x kan ha forskjellige verdier i forskjellige regnestykker.

La oss se på noen eksempler:

Per og Kari har til sammen 5 epler. Per har to. Hvor mange har Kari?

Dette stykket greier du sikkert i hodet, men la oss sette det opp som en ligning slik at vi lærer oss tenkemåten. La oss kalle antall epler som Kari har for x.

Per + Kari = tilsammen
2 + ? = 5
Som likning kan dette skrives:
2 + x = 5

Tenk på en skålvekt. En skålvekt er i likevekt dersom lasten er den samme i begge skålene. Vi kan legge på mer last på vekten, men for at den skal være i likevekt må vi legge like mye i begge skålene. Vi kan også fjerne last fra skålvekten, men vi må fjerne like mye fra begge skålene for at likevekten skal holde seg. Gjør vi ikke det kommer vekten ut av balanse.

Tenk deg at likhetstegnet i vår ligning er balansepunket på skålvekten. Vi kan legge til og trekke fra på begge sider, vi kan gange og dele, men det er viktig at vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Gjør vi ikke det kommer "vekten" ut av balanse.

Situasjonen med Per og Kari ser slik ut:

Karis epler befinner seg i sekken. Vår oppgave er å finne antall epler i sekken, x.

Dersom vi fjerner to epler på hver side av skålvekten ser det slik ut:

På matematikkspråk kan vi skrive det slik:

2 + x = 5

Dersom vi trekker bort to fra hver side av likhetstegnet får vi:

2 + x - 2 = 5 - 2

x = 5 - 2

"flytt og bytt" er en huskeregel, men det er viktig å forstå at man trekker fra samme tall på begge sider av likhetstegnet.

Med "flytt og bytt" mener man at man flytter leddet som ikke inneholder x over på høyre side av likhetstegnet og bytter fortegn. Likedan kan man flytte ledd som inneholder x fra høyre til venstre side av likhetstegnet og skifte fortegn. Det man i virkeligheten gjør er å trekke fra like mange på hver side.

Når vi løser en ligning er det vår oppgave å få x alene på venstre side av likhetstegnet.

Omvendte operasjoner

• Addisjon og subtraksjon opphever hverandre.

• Multiplikasjon og divisjon opphever hverandre.

• Operasjonene må utføres på alle ledd i likningen, på begge sider av likhetstegnet.

$5$ x $ =25 + 25$

Ligning med x som ledd

Man flytter alle ledd med x på venstre side og alle ledd uten x på høyre side av likhetstegnet. Husk å bytt fortegn på de ledd som flyttes. Trekk sammen på begge sider av likhetstegnet.

Eksempel 1:

<math>5x + 3x + 6 - 2 = 7x + 6 \quad \quad</math>Samler først alle ledd med x på venstre side og alle konstanter på høyre side. Skifter fortegn på de ledd som bytter side.

<math> 5x + 3x - 7x = 6 - 6 + 2 \quad \quad</math> Trekker sammen på begge sider.

<math> x = 2 </math>

Test deg selv

Ligning med x som faktor

Løsningen er å dividere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet som står foran x.

Eksempel 2:

<math>5x = x + 8 \quad \quad</math> Flytter over x på venstre side og skifter fortegn.
<math> 5x - x = 8 \quad \quad</math> Trekker sammen
<math> 4x = 8 \quad|:4 \quad \quad</math>Deler begge sider av likhetstegnet på det tallet som står forran x, i dette tilfelle 4.
<math> x = 2 </math>

Test deg selv

Ligninger med x i teller

Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet i nevner.

Eksempel 1:

<math> \frac{x}{2}+ x - 10 = 20 \quad | \cdot 2 \quad \quad</math> Multipliserer alle ledd med 2, for å fjerne brøken.

<math> x + 2x - 20 = 40\quad \quad </math> Flytt over 20 og bytt fortegn

<math> 3x = 60 \quad \quad</math> Deler begge sider på tre.

<math> x = 20 </math>

Test deg selv

Ligninger med x i nevner

Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med x.

Eksempel 1:

<math> \frac{2}{x}+ 10 = 12 \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</math> Multipliserer alle ledd med x, for å fjerne brøken

<math> 2 + 10x = 12x \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad </math> Flytt over og bytt fortegn

<math> -2x = -2 \qquad \qquad \qquad</math>

<math> x = 1 </math>

Test deg selv

Kombinasjoner av metoder

Ofte vil ligningene du løser være en kombinasjon av metodene over:

Eksempel 2:

<math> 3x + \frac{x}{2} = 4 - \frac{2}{x} + \frac{7x}{2} \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</math> Multipliserer alle ledd med 2x, for å fjerne brøken

<math> 6x^2 + x^2 = 8x - 4 + 7x^2 \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad </math> Flytt over og bytt fortegn. Legg merke til at andregradsleddene forsvinner.

<math> -8x = -4 </math>

<math> x = \frac12 </math>

Test deg selv

Prøve på Svaret

Hvordan kan vi være sikre på at utregningene i eksemplet over er riktige? Et godt hjelpemiddel er å sette prøve på svaret. Det betyr at vi setter inn den x verdien vi har funnet i ligningen. Vi behandle hver side av likhetstegnet for seg. Dersom svaret vi får blir det samme på begge sider av likhetstegnet har vi med stor sannsynlighet regnet riktig.

Vi tester svaret over:

Eksempel

<math>VS: \qquad \qquad 3 \cdot \frac12 + \frac{\frac12}{2} = \frac32 + \frac 14 = \frac 74 </math>

<math>HS:\qquad \qquad 4 - \frac{2}{\frac12} + \frac{7\cdot \frac12}{2}= 4 - 4 + \frac74 = \frac74</math>

Vi ser at vi får det samme på begge sider og kan konkludere med at x verdien vi fant er riktig.

Gjør det til en regel at du setter prøve på svaret, selv om det ikke alltid spørres etter det.

Test deg selv

Dagligdags Bruk - tekststykker

Når du har lært regnereglene blir utfordringen å omforme dagligdagse problemer til ligninger. Dette er et meget slagkraftig redskap, når du lærer å bruke det:

Eksempel 1:

Astrid er halvparten så gammel som Thorild. Knut er tre år eldre enn Thorild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gammel er Astrid, Thorild og Knut?
Løsning:
Vi kaller alderen til Thorild for <math>x.</math>

Knut er: <math>x+3</math>

Astrid er: <math> \frac x2</math>

Når man legger sammen alderen til de tre, får følgende likning:

<math> \frac x2 + x + (x+3)=53</math>

<math> 2,5x =50</math>

<math> x =20</math>

Siden x er 20 betyr det at Thorild er 20 år, Astrid er 10 år og Knut 23 år gammel.

Test deg selv

Operasjonenesrekkefølge

Dersom man har en ligning med både brøk og parentes kan den løses etter følgende oppskrift:

• multipliser ut parentesene
• sett parenteser rundt brøker med negative fortegn, dersom de har flere ledd i teller
• fjern brøkene ved å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med minste felles multiplum
• flytt og bytt slik at alle x ledd kommer på venstre side og alle ledd uten x på høyre side trekk sammen
• divider begge sider på koeffisienten foran x

Trigonometriske likninger

Det finnes forskjellige typer trigonometriske likninger og ofte er det forskjellige måter å løse dem på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

<math>\sin(x+2\pi)=\sin\,x</math>

<math>\cos(x+2\pi)=\cos\,x</math>

<math>\tan(x+\pi)=\tan\,x</math>

1. Trigonometriske grunnlikninger

Trigonometriske likninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnlikninger. Disse er de enkleste trigonometriske likningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnlikninger

Vi tar for oss ligningen

$a\sin(bx)=c$

Vi vil løse denne ligninger for <math>x</math>. Det første vi gjør er å isolere <math>\sin(bx)</math> på venstresiden:

$\sin(bx)=\frac ca$

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil <math>\arcsin</math> av høyresiden være lik <math>\arcsin</math> av venstresiden. Altså:

$\arcsin(\sin(bx))=\arcsin(\frac ca)$ Dette gir oss to uttrykk for <math>x</math>:

$bx=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx=\arcsin(\frac ca)$

Sinus er periodisk i <math>2\pi</math> så vi må legge til en vilkårlig multippel av <math>2\pi</math> på hver side.

<math>bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,,\,k\in\mathbb{Z}</math>

Når vi isolerer <math>x</math> på venstresiden får vi

<math>x=\frac{\arcsin(\frac ca)-k\cdot2\pi}{b}\,\vee\,x=\frac{\arcsin(\frac ca)-\pi(2k+1)}{b}\,,\,k\in\mathbb{Z}</math>

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnlikninger med <math>\cos</math> og <math>\tan</math> også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

$2cos(\pi x)=1 \quad \quad \quad x\in [0, 2\pi> $

$cos( \pi x) = \frac 12 \\ \pi x = \frac{\pi}{3} +k2\pi \vee \pi x $

$= 2\pi-\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x= \frac 13+2k \vee x=2- \frac13 +2k \\ x= \frac 13 \vee x= \frac 73 \vee x= \frac{13}{3} \vee x= \frac 53 \vee x= \frac{11}{3} \vee x= \frac{17}{3}$

$x \in${$ \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{13}{3}, \frac{17}{3}$}

Slik ser det ut:

SIN

$sin( \frac{\pi}{4}x) = \frac 12 \quad \quad \quad x \in[0, 2 \pi> \\ \frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee \frac{\pi}{4}x = \pi - \frac{\pi}{6} +2k \pi \\ x= \frac 23 +8k \vee x = 4- \frac 23 + 8k \\ x= \frac 23 \vee x = \frac{10}{3}$

$x \in ${$ \frac 23, \frac{10}{3}$}

Slik ser det ut:

TAN

$0,3 tan(4x)= 2 \quad \quad \quad x \in [0, \frac{\pi}{2}> \\ tan(4x) = 6,667 \\ 4x = 1,42 + k \pi \\ x= 0,36 \vee x= 1,14$

$x \in ${ 0,36 , 1,14}

Slik ser det ut:

2)

$a cos^2 x + b cos x + c = 0 \quad $ eller $ \quad a sin^2 x + b sin x + c = 0$

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

<math>\sin^2x+\sin\,x-1=0\,,\,x\in[0,2\pi></math>

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>

Merk at <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}>1</math>, altså har ikke denne grunnlikningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnlikningen. Når vi løser denne, får vi

$x= 0,67 \vee x= 2,48$

Slik ser det ut:

$x \in${0,67 , 2,48}

3)

<math>a sin x + b cos x = 0</math>

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

$4sinx-2cosx=0 \quad \quad x \in [0, 2 \pi>\\ 4tanx-2=0 \\ tanx = \frac 12 \\ x = tan^{-1}(\frac 12) = 0,46 + k \pi \\ x= 0,46 \vee x = 3,61$

$x \in$ {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

4)

$a cos^2 x + b sin x + c = 0 \quad$ eller $ \quad a sin^2 x + b cos x + c = 0$

Ligningen løses ved å erstatte $sin^2x \quad $ med $1 - cos^2 x \quad$ eller $ cos^2 x \quad$ med $1 - sin^2 x$

Eksempel 4.

<math>\sin\,x+2cos^2x=1\,,\,x\in[0,2\pi > </math>

Vi kjenner identiteten <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math>.

Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

<math>\sin\,x+2-2\sin^2x=1</math>

<math>2\sin^2x-\sin\,x-1=0</math>

Dette er en andregradslikning i $\sin\,x$, som vi kan løse:

<math>\sin\,x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}</math>

<math>\sin\,x=\frac{1+3}{4}=1 \,\vee\,\sin\,x=\frac{1-3}{4}=-\frac12</math>

<math>\sin\,x=1\,\Rightarrow\,x=\frac{\pi}{2}</math>

<math>\sin\,x=-\frac12\,\Rightarrow\,x=\frac{7\pi}{6} \,\vee\,x=\frac{11\pi}{6}</math>

$x= \frac {\pi}{2} \vee x= \frac{7 \pi}{6} \vee x= \frac{11 \pi}{6}$

$x \in${$\frac {\pi}{2}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$}

Slik ser det ut:

5)

<math>a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = 0</math>

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $cos^2 x \quad \quad cos x \neq 0$

Eksempel 5.

$2sin^2x+3sinxcosx - cos^2x=0 \quad x \in [0, 2\pi>\\ 2tan^2x+3tanx-1=0 \\ 2u^2+3u-1=0$

$tan x =-1,06 \vee tanx = 0,27 \\x= -1,06 + k\pi \vee x= 0,27 + k\pi \\ x = 0,27 \vee x=3,45 \vee x=2,08 \vee x=5,22 $

$x \in$ {0,27 , 2,08 , 3,45 , 5,22}

Slik ser det ut:

6)

$ a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = d $

Her må konstantleddet skrives om : $d = d \cdot 1 =d(sin^2 x + cos^2 x)$ . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 6.

$4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x=3 \quad \quad x \in [0, 2\pi> \\4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x \\ sin^2x + sinx cosx - 6cos^2 =0 \\ tan^2x + tanx - 6 = 0 \\ tanx = -3 \vee tanx = 2 \\ x= -1,24 +k\pi \vee x=1,11 + k\pi \\ x= 1,11 \vee x= 4,25 \vee x= 1,90 \vee x=5,04 $

$x \in ${1,11 , 1,90 , 4,25 , 5,04}

Slik ser det ut:

7)

Likninger av typen

<math>a\sin cx + bcos cx = d</math>

Løses ved å skrive om til:

<math> Asin (cx + \varphi)=d</math> der <math>A=\sqrt{a^2+b^2}</math> og <math>\varphi</math> er gitt ved <math> tan \varphi = \frac ba</math> og <math>\varphi</math>ligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 7.

Eksempel:

<math>sin x + cos x = 1 \quad \quad \quad x\in [0,2\pi></math>

<math> A=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt 2 \\ a = b = 1 </math>

Vinkelen <math>\varphi</math> ligger i første kvadrant, <math>\varphi =tan^{-1}(1)= \frac {\pi}{4} </math>

Vi får

$\sqrt 2 sin(x + \frac \pi 4) = 1 \\ sin (x+ \frac \pi 4) = \frac{\sqrt 2}{2} \\ x + \frac {\pi}{4} = \frac {\pi}{4} +2k\pi \vee x + \frac{\pi}{4}= \pi - \frac{\pi}{4} +2k\pi \\ x=0 \vee x= \frac {\pi}{2}$

$x \in$ {0, $\frac \pi 2$}

Det ser slik ut:

8)

$a^2\pm ab= 0 \Rightarrow a( a \pm b)= 0$

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 8.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnlikninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

<math>\sin\,x\,\cos\,x-cos\,x=0\,,\,x\in [0,2\pi></math>

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på <math>\cos\,x</math>. Generelt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generelt når du deler på null eller multipliserer med null. I stedet faktoriserer vi ligningen:

<math>\cos\,x\,(\sin\,x-1)=0</math>

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må <math>\cos\,x=0</math> eller <math>\sin\,x-1=0</math>. Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnlikninger.

<math>\sin\,x=1 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2}</math>

<math>\cos\,x=0 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2} \,\vee\, x=\frac{3\pi}{2}</math>

$ x \in${$\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}$}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.

---