Løsning del 1 og del 2 utrinn Vår 15

Oppgaven del 1

Oppgaven del 2

Løsningsforslag del 1 og 2 laget av MKH I oppg 16 del 1 skal det stå 900 og ikke 90 som i løsningsforslaget I oppg 6 del 2 skal rett benevning være m^3

Oppgave 1

a)

$395+1988 = 2383$

b)

$572-479 = 93$

c)

$102 \cdot 98 = 9996$

d)

$81: 0,27 = \\ 8100:27 = 300$

Oppgave 2

a)

98km = 9,8 mil

b)

12,3 kg = 123 hg

c)

800 ml = 0,8 L

d)

4h 12min = 4,2 h

Oppgave 3

a)

$435000 = 4,35 \cdot 10^5$

b)

$ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 $

Oppgave 4

a)

$\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10} = \frac 12 $

b)

$\frac{7}{12} - \frac{1}{3} = \frac{7}{12} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac {7-4}{12} = \frac{3}{12} = \frac 14$

c)

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\not{8} \cdot \not{3} \cdot 1}{\not{9} \cdot 3 \cdot \not 4 \cdot \not 2} = \frac 13$

d)

$\frac{4}{5}: \frac{6}{15}= \\ \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{6} = \\ \frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 6}= \\ \frac{}{} \\ \frac{4 \cdot \not{15} \cdot \not{3}}{\not 5 \cdot \not 6 \cdot 2} =2$

Oppgave 5

a)

$6x=4x+8 \\ 6x-4x=8 \\ 2x=8 \\ x=4$

b)

$\frac x2 - \frac{x-2}{3} = 1 \quad | \cdot 6 \\ 3x-2(x-2)= 6 \\ 3x-2x+4 =6 \\x = 2$

Oppgave 6

Målestokk 1:50000.

$\frac{1}{50000} = \frac{4,5cm}{x} \\x= 50000 \cdot 4,5cm \\ x=225000 cm = 2250m = 2,25 km$

2,25 km er riktig svar.

Oppgave 7

Butikk A: $100 \cdot 0,8 = 80$ kroner

Butikk B: $(100 \cdot 0,9) \cdot 0,9 = 90 \cdot 0,9 = 81$ kroner.

Varen er en krone billigere i butikk A.

Oppgave 8

a)

$2-2(2a+1) \\ =2-4a-2 \\ = - 4a$

b)

$\frac{(2a-2b)(a+b)}{2a+2b} =\\ \frac{2(a-b)(a+b)}{2(a+b)} = \\ a-b$

Oppgave 9

a)

$\frac 14 = 25$%

Det er 25% sannsynlig at han trekker Avatar.

b)

Sannsynlighet for at Gravity er med:

Tenker at man trekker en film av fire, så en film av tre. Gravity kan bli trukket i den første eller den andre trekkningen.

$P(film \quad med)=\frac 14 \cdot 1 + \frac 34 \cdot \frac 13 \\ = \frac {3}{12} + \frac {3}{12} = \frac 12$

Alternativt kan man tenke at sannsynligheten for at filmen er med = 1 - sannsynligheten for at den ikke er med. Da blir det slik

$P(film \quad ikke med)= 1- \frac 34 \cdot \frac 23 = \frac 12$

Begge måtene å tenke på gir samme resultat, det er 50% sannsynlig at filmen er med.

Oppgave 10

$V= \frac{\pi r^2h}{3} \\ 3V = \pi r^2 h \\ \pi r^2h = 3V \\ h= \frac{3V}{\pi r^2}$

Oppgave 11

Alder:

Marius = x

Gabriel = 2x

Andreas = 2x+3

$x+2x+2x+3 = 53 \\ 5x=50 \\x=10$

Marius er 10 år, Gabriel er 20 år og Andreas er 23 år.

Oppgave 12

a)

Gjennomsnitt:

$\frac{91+91+74+90}{4} = \frac{346}{4}= 86,5$

Gjennonsnittsvekten er 86,5 kg.

b)

Medianverdi:

74, 90, 91 ,91

Gjennomsnittet av 90 og 91 er 90,5. Medianvekten er 90,5 kg.

Oppgave 13

a)

\begin{bmatrix} 2x+y=5 \\ x-y = -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x+y=5 \\ x = y-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2(y-2)+y=5 \ \\ 2y -4 +y = 5 \ \\ 3y =9 \\ y=3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x-y = -2 \\x-3 =-2 \\ x=1 \end{bmatrix}

Likningssystemet har løsning for $x=1 \wedge y=3$

b)

Her kan det være lurt å skrive om likningene så de blir på formen $y = ax + b$.

$2x + y = 5 \Rightarrow y = -2x + 5 \\ x-y = -2 \Rightarrow y = x + 2 $

Løsningen er der grafene krysser hverandre.

Oppgave 14

- Avsetter linjestykket AB, 7 cm.

- Konstruerer 30 grader i A.

- Avsetter 7 cm på ny linje og merker av C.

- Trekker linjestykket BC.

- Konstruerer 45 grader i C, på AC.

- Trekker linjen gjennom C, 45 grader på AC.

- Konstruere en linje gjennom A, parallell med BC.

- I skjæringen mellom de to linjene ligger D.

Oppgave 15

180 meter gjerde skal innhegne et størst mulig areal. Pi settes til $\approx 3$:

Kvadrat:

Gir sidekanter 45 meter. Da blir arealet av kvadratet $45m \cdot 45m = 2025m^2$

Sirkel: Vi må finne radius:

$O= 2\pi r \Rightarrow r= \frac{O}{2 \pi} \\ r= \frac{180m}{2 \cdot 3} \\ r= 30 $

Areal av sirkel: $A= \pi r^2 \\ A= 3 \cdot 30^2 m^2 \\ A= 2700 m^2$

Sirkelen har et større areal enn kvadratet.

Oppgave 16

Likesidet trekant med omkrets 180 meter. En side i trekanten er da 60 meter. Om vi nedfeller normalen fra ett av hjørnen får vi høyden i trekanten, h. Denne er gitt ved Pytagoras:

$h^2 = 60^2 - 30^2 \\ h^2 = 3600 - 900 \\h^2 = 2700 \\ h = \sqrt{2700}\\ h= \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 100} \\ h= \sqrt \cdot 3 \sqrt 9 \cdot \sqrt{100} \\ h = 3 \cdot 10 \cdot \sqrt 3 \\h= 30 \sqrt 3 $

Areal av trekant:

$A= \frac{g \cdot h}{2} \\ A= \frac{60 \cdot 30 \sqrt 3}{2} \\ A = 900 \sqrt 3$

Utregning ble gjort uten benevning, men både 60 og $30 \sqrt3 $ er meter, så svaret blir $900 \sqrt 3 m^2$

Oppgave 1

a)

$3,5 \cdot 10 kr + 2 \cdot 12,5 kr + 90 kr = 150 kr$

Hun må betale 150 kroner.

b)

$100 kr - 40 kr = 60 kr \\ \frac{60kr}{12 kr/kg} = 5 kg$

Han kjøper 5 kilogram gullerøtter.

Oppgave 2

a)

$d \approx 24 \cdot 2,54cm \approx 60,96 cm \\ r \approx 30,48 cm \\ O=2\pi r \\ O= 2 \pi \cdot 30,48 cm = 191,5 cm$

Forhjulet har en omkrets på cirka 191,5 centimeter.

b)

Omkrets bakhjul:

$1,7O = 3 \cdot 191,5 \\ O = 337,9 cm $

Bakhjulets diameter:

$O= \pi d \\ d = \frac{337,9 cm}{\pi} \\ d= 107,55 cm \approx \frac{107,55 cm}{2,54} \approx 42" $

Oppgave 3

a)

Formler:

b)

c)

Han betaler $792000 - 648000 = 144000$ mindre i renter, ved å redusere antall terminer til 8.

Oppgave 4

a)

$V(x)=0,28x+5$

Ett nyfødt lam veier ca. 5 kg. ( konstantledd, x = 0)

Vekten øker daglig med stigningstallet, altså 0,28 kg. ( ganske imponerende egentlig, om modellen er riktig da).

b)

c)

Fra Figur i b ser man at vekten etter 75 dager er ca. 26 kilogram. (ca, fordi dette er en modell).

d)

Lammet går en utrygg tilværelse i møte når det er mere enn 143 dager gammelt, dvs. i underkant av fem måneder.

Oppgave 5

a)

Vi har en 30, 60, 90 trekant. Da er hypotenus to ganger lengden av korteste katet.

Vi kaller høyden i trekanten for h. Det vil være det lengste katetet. Vi må huske på å legge til 1,8 meter, som blir treets høyde.

$9^2 + h^2 = 18^2 \\ h = \sqrt{18^2- 9^2} \\ h = 15,59 meter$

Når vi plusser på 1,8 meter finner vi at treets høyde er 17,4 meter.

b)

Bruker formlikhet:

$\frac{1,8}{1,5} = \frac{x}{14,5} \\ x= 17,4$

Treet er fortsatt 17,4 meter høyt.

c)

Bruker Pytagoras der hypotenusen er $18-x$:

$x^2 + 4,2^2 = (18-x)^2 \\ x^2 + 4,2^2 = 18^2 -36x + x^2 \\36x = 18^2-4,2^2 \\ x= 8,5$

Treet knakk 8,5 meter over bakken.

Oppgave 6

a)

Volum av kjegle:

$V= \frac 13 \pi r^2h = \frac 13 \cdot \pi \cdot 1,05^2 \cdot 1,8 = 2,08 $

Volumet av kjeglen er 2,08 $m^3$.

b)

Volumet av sylinderen er $14,5 m^3 - 2,08 m^3 = 12,42m^3$

Høyden i sylinderen blir da:

$V = \pi r^2 h \\ h = \frac{V}{\pi r^2}\\ h = \frac{12,42m^3}{\pi \cdot (1,05m)^2} \\ h = 3,59m $

Høyde av silo er høyde av sylinder pluss høyde av kjegle:

$h_{silo} = 3,59m + 1,8 m =5,39 m$

Siloens høyde er 5,39 meter.

c)

$\frac{V_s}{V_k} = \frac{6}{1} \\ \frac{\pi r^2 h_1}{\frac 13 \pi r^2 h_2} = 6 \\ \frac{3h_1}{h_2} = 6 \\ \frac{h_1}{h_2} = 2$

Forholdet mellom høyde i sylinder og høyde i kjegle er 2, eller 2:1.

Oppgave 7

a)

	Antall sideflater - F	Antall hjørner - H	Antall sidekanter - K
Tetraeder	4	4	6
Heksaeder	6	8	12
Oktaeder	8	6	12

b)

Tetraeder: F + H - K = 4 + 4 - 6 = 2

Heksaeder: 6 + 8 -12 = 2

Oktaeder: 8 + 6 - 12 = 2

Antall sidekanter på et platonsk legeme er alltid to mindre enn summen av antall sideflater og antall hjørner.

Oppgave 8

a)

Dersom lengden av sidene i et kvadrat er a, er arealet av kvadratet: $A= a^2$. Dersom sidekantene fordobbles i lengde blir lengden 2a. Arealet blir da: $A= (2a)^2 = 4a^2$. Altså firdobbles arealet når sidene i kvadratet dobbles.

b)

AB = x

Areal kvadrat ABCD: $A = x^2$

Bruker pytagoras og finner at lengden av $BD = \sqrt{2x^2}$

Areal av kvadratet BEFD: $A=( \sqrt{2x^2})^2 = 2x^2$

Altså er arealet av BEFD dobbelt så stort som arealet av ABCD.

Oppgave 9

a)

$(n^2-1)^2+(2n)^2 =(n^2+1)^2 \\ n= 6 \quad gir: \\ (6^2-1)^2+(2 \cdot 6)^2 =(6^2+1)^2 \\ 35^2 + 12^2 = 37^2 $

Talltrippelet er (35, 12, 37).

b)

Man observerer fra formelen at det minste tallet i talltrippelet er 2n. Siden det minste tallet er 22, må n = 11.

c)

$(n^2-1)^2+(2n)^2 =(n^2+1)^2$

Skal vise at likningen stemmer ved å regne ut venstre og høyre side hver for seg.

Venstre side: $(n^2-1)^2+(2n)^2 =n^4-2n^2+1 + 4n^2 = n^4+2n^2 +1$

Høyre side: $(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 +1$

Formelen stemmer.