Forskjell mellom versjoner av «Kvotient regel derivasjon-bevis»
(13 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
+ | |||
+ | Ved hjelp av definisjonen for den deriverte: | ||
Vi har: | Vi har: | ||
Linje 6: | Linje 8: | ||
Bevis: | Bevis: | ||
− | $f'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+ \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x) + u(x) \cdot v(x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} | + | $f'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+ \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x) + u(x) \cdot v(x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} ( \frac{u(x+\Delta x)- u(x)}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} - \frac{v(x+\Delta x)- v(x)}{\Delta x} \cdot \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} ) \\ = u´(x) \cdot \frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x)} - v´(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x) \cdot v(x)} \\ = \frac{u´(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v´(x)}{(v(x))^2}$ |
+ | |||
+ | Eller ved hjelp av logaritmeregler: | ||
+ | |||
+ | $f(x)= \frac uv \quad \quad u>0, \quad v>0 \\ (\ln f(x))´ = \frac 1u \cdot u´- \frac 1v \cdot v´= \frac{u´v-vú}{uv}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | $( \frac uv)´ = (e^{\ln \frac uv})´ = e^{\ln \frac uv} \cdot \frac{u´v-vú}{uv} =\frac uv \cdot \frac{u´v-v`u}{uv} = \frac{uv´- v`u}{v^2}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[ Derivasjonsregler]] |
Nåværende revisjon fra 7. okt. 2017 kl. 11:23
Ved hjelp av definisjonen for den deriverte:
Vi har:
$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}, \quad f´(x)= \frac{u´(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v´(x)}{(v(x))^2}, \quad f´(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Bevis:
$f'(x)= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+ \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\= \lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x)- u(x) \cdot v(x) - {u(x) \cdot v(x+ \Delta x) + u(x) \cdot v(x)}}{\Delta x \cdot v(x+ \Delta x) \cdot v(x)} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow0} ( \frac{u(x+\Delta x)- u(x)}{\Delta x} \cdot \frac{v(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} - \frac{v(x+\Delta x)- v(x)}{\Delta x} \cdot \frac{u(x)}{v(x+\Delta x) \cdot v(x)} ) \\ = u´(x) \cdot \frac{v(x)}{v(x) \cdot v(x)} - v´(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x) \cdot v(x)} \\ = \frac{u´(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v´(x)}{(v(x))^2}$
Eller ved hjelp av logaritmeregler:
$f(x)= \frac uv \quad \quad u>0, \quad v>0 \\ (\ln f(x))´ = \frac 1u \cdot u´- \frac 1v \cdot v´= \frac{u´v-vú}{uv}$
$( \frac uv)´ = (e^{\ln \frac uv})´ = e^{\ln \frac uv} \cdot \frac{u´v-vú}{uv} =\frac uv \cdot \frac{u´v-v`u}{uv} = \frac{uv´- v`u}{v^2}$