Irrasjonale likninger

Innledning

Dersom den ukjente i ligningen befinner seg under ett eller flere rottegn sies ligningen å være irrasjonal. Man må være fortrolig med bruk av kvadratsetningene og løsing av 2.gradsligninger før man ser på eksemplene nedenfor.

Falsk løsning

Generelt løses irrasjonale ligninger ved å kvadrere på begge sider av likhetstegnet. Det kan generere falske løsninger derfor må man

ALLTID SETTE PRØVE PÅ SVARET.

x = -2

(x) 2 = (-2)2

x2 = 4

Om man løser x2 = 4 ser man hvorfor man må sette prøve på svaret. vi startet med x =-2. På grunn av kvadreringen genereres den falske løsningen x= 2

Eks. 1:

Før man kvadrerer skal rottegnet (og det under) stå alene på ene siden av likhetstegnet

<tex>\sqrt{x-2} = 4 \\ (\sqrt{x-2})^2 = 4^2\\ x - 2 = 16\\ x = 18</tex>

Ved å SETTE PRØVE ser man at x=18 passer inn i ligningen.

 

 

Eks. 2:

En noe mer arbeidskrevende ligning er denne:

<tex>\sqrt{x-2} = 3 - \sqrt{x+3} \\ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 3 \\ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = 3^2 \\ 2 - x + 2\sqrt{x-2} \sqrt{x+3} + x + 3 = 9 \\ 2\sqrt{x-2} \sqrt{x+3})^2 = 4^2 \\ 4(x-2)(x+3) = 16 \\ -x^2 - x + 2 = 0 \\ x = - 2 \vee x = 1 </tex>

PRØVE PÅ SVARET viser at både x =-2 og x = 1 er løsninger av ligningen.

 

Eks. 3:

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('x - \sqrt{3x+7} + 1 = 0')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('(- \sqrt{3x+7})^2 = (- x - 1)^2')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('2x + 7 = x^2 + 2x + 1')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('x^2 - x - 6 = 0')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('x -2 \vee x = 3')?>">

Man observer, ved å SETTE PRØVE PÅ SVARET, at x= -2 IKKE er en løsning av ligningen. Løsningen blir da x = 3.

 

Eks. 4:

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('\sqrt{2x + 10 + \sqrt{x+3}} = 5')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('2x + 10 + \sqrt{x+3} = 25')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('\sqrt{x + 3} = 15 - 2x')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('x + 3 = 225 - 60x + 4x^2')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('4x^2 - 61x + 222 = 0')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode(' x = 6 \vee x = 9,25')?>">

Innsatt i ligningen observerer man at kun x=6 er en løsning.