Introduksjon til differensiallikninger

En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt t (for tid) eller x (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.

På ungdomstrinnet og på videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt x.

I differensialligninger er den ukjente en funksjon y. En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.

I avsnittet skriver vi y’ og <tex> \frac{dy}{dx}</tex> om hverandre.

Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.

Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner.

Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen <tex>g(x,f,f^, ,f^{,,},\ldots , f^{(n)})=0</tex> der <tex>g</tex> er en gitt funksjon. <tex>n</tex> kalles ligningens orden og <tex>f^{(n)}</tex> er den n-te deriverte. <tex>f</tex> er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og <tex>x</tex> er variabelen som vi deriverer m.h.p. på, i.e. <tex>f^,\equiv \frac{df}{dx}</tex> etc.

Eksempel

En enkel ordinær differensialligning av første orden er <tex>f^{,}(x)=0</tex>. Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at <tex>f(x)=c</tex> for en konstant <tex>c</tex>.

Eksempel

En enkel andreordens ordinær differensialligning er <tex>m\ddot{x}(t)=10</tex>. Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 Newton) der <tex>x(t)</tex> er posisionen ved tida <tex>t</tex>.

Førsteordens lineære ligninger

Lineære differensialligninger av første orden:

(1) y’ + ay = b

Dersom ligningen er homogen er b = 0:

(2) y’ + ay = 0

For å løse ligninger av denne type benytter man produktregelen for derivasjon ”baklengs”. I den sammen heng er multiplikasjon med e ax en del av løsningsalgoritmen (a den samme som i (1) eller (2). e ax kalles en integrerende faktor.

Derivasjon: u’v + v’u = (uv)’

Eks. 1 Homogen første ordens lineær ligning:

 

y’ +2y = 0 (multipliserer begge sider med e ^2x)

y’e^2x + 2ye^2x = 0

y’e^2x + y(2e^2x) = 0

(ye^2x)’ = 0

ye^2x = C

y = Ce^-2x

For å finne ut hva C er trenger man en opplysning til, i tillegg til ligningen. Det behandles i avsnitt 5.

Eks. 2 Innhomogen førsteordens lineær ligning:

 

Ligninger av typen y’ + ay = b

 

y’ + 4y = 6

 

y’e^4x + 4e^4xy = 6e^4x

 

(ye^4x)’ = 6e^4x

 

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('ye^{4x} = \int{6e^{4x}dx}')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('ye^{4x} = \frac32e^{4x} + C')?>">

<img src="<?=HOME?>/cgi-bin/mimetex.cgi?<?=rawurlencode('y = \frac32 + Ce^{-4x}')?>">