Forskjell mellom versjoner av «Integrerende faktor»
| (2 mellomliggende revisjoner av en annen bruker er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
| − | En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen < | + | En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f'+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>. |
| Linje 5: | Linje 5: | ||
| − | Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon < | + | Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</math>: (Her betyr <math>A=A(x)</math>, <math>B=B(x)</math> etc.) |
| − | :< | + | :<math>f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB</math> |
| − | Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon < | + | Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g'</math>, ser vi at ligningen blir: |
| − | :< | + | :<math>gf'+g'f=gB</math> |
| − | Da gjenkjenner vi venstresida som < | + | Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)'</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen |
| − | :< | + | :<math>g'=Ag</math> |
| − | Dette er en separabel ligning med løsning < | + | Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</math>. Vi har altså funnet integrerende faktor. |
| Linje 31: | Linje 31: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
| − | '''Eksempel''' | + | '''Eksempel''' <p></p> |
| − | + | La oss se på førsteordensligningen <math>f'+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf'+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)'=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning. | |
</blockquote> | </blockquote> | ||
Nåværende revisjon fra 1. mai 2013 kl. 02:03
En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f'+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>.
Generell utledning
Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</math>: (Her betyr <math>A=A(x)</math>, <math>B=B(x)</math> etc.)
- <math>f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB</math>
Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g'</math>, ser vi at ligningen blir:
- <math>gf'+g'f=gB</math>
Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)'</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen
- <math>g'=Ag</math>
Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</math>. Vi har altså funnet integrerende faktor.
Eksempler
Eksempel
La oss se på førsteordensligningen <math>f'+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf'+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)'=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.
