Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustres best med et eksempel.

Eksempel 1:

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx

</tex>

Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:

2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B

Velger x slik at parantesen forran A blir null og får x=-2 som gir:

<tex>-1 = -4B</tex>

<tex>B= \frac14</tex>

Velger så x slik at parantesen foran B blir null, x = 2:

<tex>7 = 4A</tex>

<tex>A = \frac74</tex>

Integralet blir da:

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex>

Generelt kan man si at:

<tex> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx

</tex>

Man finner A og B slik at

<tex> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </tex>

Det lønner seg å velge x slik at parantesene blir lik null (en om gangen).

Det kan være lurt å huske at:

<tex> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </tex>

og

<tex> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </tex>

Eksempel 2:

<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx

</tex>

Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte

<tex>6x^2-17x+6 = (x-2)(x-3)A +x(x-3)B + x(x-2)C </tex>

Setter først x = 0

6 = 6 A dvs. A = 1

Setter så x = 2 og får:

-4 = -2B dvs. B = 2

Setter så x = 3 og finner at C = 3. Da får man:

<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C

</tex>

Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før integrasjon.

Polynomdivisjon før integrasjon

Dersom en polynomdivisjon ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte.

Eksempel 3:

<tex> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx </tex>

man utfører divisjonen og får

<tex> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx = \int (x + 1 - \frac{2x+1}{x^2+x+2})dx</tex>

Man observere at brøken har den deriverte av nevner, i teller. Da bruker man substitusjon (variabelskifte) og får

<tex> \frac12x^2 + x - ln(x^2+x+2) +C</tex>

Eksempel 4:

<tex> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt </tex>

Utfører polynomdivisjonen og får

<tex> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + t - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt</tex>