Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustres best med et eksempel.

Eksempel 1:

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx

</tex>

Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:

2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B

Velger x slik at parantesen forran A blir null og får x=-2 som gir:

<tex>-1 = -4B</tex>

<tex>B= \frac14</tex>

Velger så x slik at parantesen foran B blir null, x = 2:

<tex>7 = 4A</tex>

<tex>A = \frac74</tex>

Integralet blir da:

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex>

Generelt kan man si at:

<tex> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx

</tex>

Man finner A og B slik at

<tex> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </tex>

Det lønner seg å velge x slik at parantesene blir lik null (en om gangen).

Det kan være lurt å huske at:

<tex> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </tex>

og

<tex> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </tex>

Eksempel 2:

<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx

</tex>

Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte

Setter først x = 0

6 = 6 A dvs. A = 1

Setter så x = 2 og får:

-4 = -2B dvs. B = 2

Setter så x = 3 og finner at C = 3. D får man:

<tex> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C

</tex>

Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før delbrøkoppspalting og integrasjon.