Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustres best med et eksempel.

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx

</tex>

Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:

2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B

Velger x slik at parantesen forran A blir null og får x=-2 som gir:

<tex>-1 = -4B</tex>

<tex>B= \frac14</tex>

Velger så x slik at parantesen foran B blir null, x = 2:

<tex>7 = 4A</tex>

<tex>A = \frac74</tex>

Integralet blir da:

<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex>