Integrasjon - R2

Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2. Legg gjerne til integraler du tenker bør være med. Det er ofte forskjellige metoder for løsning og det nyttig å se forskjellige løsningsvarianter av samme oppgave, så bidrag fra brukere ønskes velkommen. Vi ser for oss at dette blir en liste på 40 -50 integraler...

$ 1) \quad $$\int{\tan( x)}dx $

Vi vet at $\tan\,x=\frac{\sin\,x}{\cos\,x}$ og at $\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x$, si vi setter $u=\cos\,x$:

<math>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</math>

Vi setter inn i integralet og får

<math>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</math>

Vi kan nå erstatte u med x igjen:

<math>I=-\ln|\cos\,x|+C</math>

$ 2) \quad$$\int{tan^2 (x)} dx $

Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x):

$( tan(x) )' = tan^2(x) + 1 \Rightarrow \\ tan^2(x)= (tan(x))' - 1 \\ \int tan^2(x)dx = \int (tan(x))' -\int 1dx \\ \int tan^2(x)dx=tan(x)- x+ C$

$ 3) \quad$$\int{ln (x)} dx $

Vi vil integrere funskjonen <math>f(x)=\ln\,x</math>. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.

Vi skriver <math>\ln\,x=1\cdot\ln\,x</math> og lar <math>u=\ln\,x</math> og <math>v=x</math>. Da får vi

<math>\frac{du}{dx}=1</math> og <math>\frac{dv}{dx}=\frac1x</math>. Integralet blir

<math>\int 1\cdot\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-\int x\cdot\frac1x\rm{d}x=x\ln\,x-\int\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</math>

Resultatet er altså at

<math>\int\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</math>

$ 5) \quad$$\int{sin^2 (x)} dx $

<math> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\

= - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</math>

Da har man:

<math> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\ 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\ \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C </math>

$ 7) \quad $$\int{\frac{1}{x+a}}dx $

<math>\int{\frac{1}{x+a}}dx = ln |x+a| + C</math>

$ 8) \quad $$\int{\frac{1}{x^2+a^2}}dx $

<math> \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a})+C </math>

9) $ \int 4e^{2x+1}dx $

u = 2x + 1 \\

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du = 2dx \\ \int 4e^{u}dx = \int 2e^{u}du = 2e^{u} + C = 2e^{2x+1} + C

</math>

10) $ \int \frac{1}{1+ \sqrt{x}}dx $

$ setter u = 1 + \sqrt{x }\\

 \frac{du}{dx}= \frac12x^{- \frac12} \\
 du= \frac{1}{2 \sqrt{x}}dx \\
 dx= 2 \sqrt{x}du \\

\int \frac{1}{u}dx = \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du $

Man bruker at <math>u = 1 + \sqrt{x} </math> og får:

<math> \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du = \int \frac{1}{u}2 (u-1)du = \int (2- \frac 2u)du = 2 \int du - 2\int \frac1u du = 2u -2ln|u| + k</math>

Substituerer tilbake til x og får:

<math> 2(1+ \sqrt x) -2ln(1 + \sqrt x) + k = 2 + 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x) + k = 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x)+ c </math> <