Grenseverdi
Med grenseverdi mener vi den verdi en funksjon f(x) går mot når x går mot et tall, eller mot uendelig.
Vi bruker følgende notasjon:
<tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) =K </tex>
Som leses "limes f av x når x går mot a er k", eller "grensen f beveger seg mot når x går mot a er k".
Vi forutsetter <tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) =K </tex> og <tex>\lim_{x \rightarrow a}g(x) = L </tex>
Generelle sammenhenger | |
<tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \pm L </tex> | <tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \cdot L </tex> |
<tex>\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}= \frac KL \quad L\ne 0 </tex> | <tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) =K </tex> |
Spesielle sammenhenger
Ensidig grenseverdi
Dersom en funksjon ikke er definert for alle verdier av x, eller den gjør "hopp" i funksjonsverdien kan det være nødvendig å undersøke hva funksjonen går mot når x nærmer seg et tall fra en spesiell side.
<tex>\lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = K </tex>
Uttrykket betyr at f(x) går mot K når x går mot a fra høyre.
<tex>\lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = R </tex>
Uttrykket betyr at f(x) går mot R når x går mot a fra venstre.
Kontinuitet
En funksjon er kontinuerlig dersom:
<tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a) </tex>
hvilket betyr at
1.f (a) eksisterer, f er definert i a
2.lim f (x) når x går mot a eksisterer
3.verdiene i 1 og 2 er like