Grenseverdi

Med grenseverdi mener vi den verdi en funksjon f(x) går mot når x går mot et tall, eller mot uendelig.

Vi bruker følgende notasjon:

<tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) =K </tex>

Som leses "limes f av x når x går mot a er k", eller "grensen f beveger seg mot når x går mot a er k".

Vi forutsetter <tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) =K </tex> og <tex>\lim_{x \rightarrow a}g(x) = L </tex>

Generelle sammenhenger
<tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \pm L </tex>	<tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \cdot L </tex>
<tex>\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}= \frac KL \quad \quad \quad L\ne 0 </tex>	<tex>\lim_{x \rightarrow a}\frac{1}{f(x)}= \frac{1}{K} \quad \quad \quad K \ne 0 </tex>
Spesielle sammenhenger
<tex>\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x}= 1 </tex>	<tex>\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - cos x}{x}= 0 </tex>
<tex>\lim_{x \rightarrow \infty}(1 + \frac 1n)^n = e </tex>	<tex>\lim_{x \rightarrow 0}(1 + n)^{\frac 1n} = e </tex>
<tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \pm L </tex>	<tex>\lim_{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x) ] =\lim_{x \rightarrow a}f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a}g(x) = K \cdot L </tex>

Ensidig grenseverdi

Dersom en funksjon ikke er definert for alle verdier av x, eller den gjør "hopp" i funksjonsverdien kan det være nødvendig å undersøke hva funksjonen går mot når x nærmer seg et tall fra en spesiell side.

<tex>\lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = K </tex>

Uttrykket betyr at f(x) går mot K når x går mot a fra høyre.

<tex>\lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = R </tex>

Uttrykket betyr at f(x) går mot R når x går mot a fra venstre.

Kontinuitet

En funksjon er kontinuerlig dersom:

<tex>\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a) </tex>

hvilket betyr at

1.f (a) eksisterer, f er definert i a

2.lim f (x) når x går mot a eksisterer

3.verdiene i 1 og 2 er like

---