Forskjell mellom versjoner av «Geometriske rekker»
Fra Matematikk.net
(Ny side: ==Geometrisk progresjon== En geometriskprogresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k<...) |
|||
| Linje 10: | Linje 10: | ||
For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex> | For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex> | ||
| + | |||
| + | ==Uendelige geometriske rekker== | ||
| + | |||
| + | Dersom <tex>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi. | ||
| + | |||
| + | I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex> | ||
Revisjonen fra 18. jan. 2010 kl. 11:56
Geometrisk progresjon
En geometriskprogresjon <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</tex>.
Slike tallfølger kan skrives på formen <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex>
Geometrisk rekke
En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.
For geometriske rekker <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> er <tex>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</tex>
Uendelige geometriske rekker
Dersom <tex>-1<k<1</tex> i en geometrisk tallfølge <tex>a_n=a_1k^{n-1}</tex> sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.
I slike tilfeller er <tex>\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}</tex>
