Forskjell mellom versjoner av «Funksjonen a sin cx + b cos cx»
(→Bevis) |
|||
| (37 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +$\varphi$). Det er alltid mulig. | Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +$\varphi$). Det er alltid mulig. | ||
| − | + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |
Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx + $\varphi$) | Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx + $\varphi$) | ||
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$ og $tan \varphi = \frac ba$ | $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ og $tan \varphi = \frac ba$ | ||
| + | NB: $\varphi$ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b) | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
| + | |||
| + | Eksempel: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | f(x) = -2 sin 3x + cos 3x $\quad \quad A= \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt 5 = 2,24 \quad \quad tan \varphi = - \frac 12 \Rightarrow \varphi = 2,678$ | ||
| + | Husk at punktet (-2,1) ligger i andre kvadrant, så vi jakter på en vinkel i denne kvadranten. | ||
| + | Vi får : f(x)= 2,24 sin(3x + 2,,678) | ||
| + | [[File:sin-2-1.png]] | ||
| + | |||
| + | Her er utgangsfunksjonen, her kalt g(x) tegnet med likevektslinje y = 2, bare for å kunne sammenligne grafene til de to uttrykkene. Vi ser at de er identiske, med en faseforskyvning mot venstre på $ \frac{2,678}{3} = 0,89$. | ||
| + | </div> | ||
| Linje 16: | Linje 32: | ||
| + | ==Bevis== | ||
| + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | ||
| − | + | </div> | |
Nåværende revisjon fra 23. jan. 2018 kl. 06:20
Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +$\varphi$). Det er alltid mulig.
Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx + $\varphi$)
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$ og $tan \varphi = \frac ba$
NB: $\varphi$ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b)
Eksempel:
f(x) = -2 sin 3x + cos 3x $\quad \quad A= \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt 5 = 2,24 \quad \quad tan \varphi = - \frac 12 \Rightarrow \varphi = 2,678$
Husk at punktet (-2,1) ligger i andre kvadrant, så vi jakter på en vinkel i denne kvadranten.
Vi får : f(x)= 2,24 sin(3x + 2,,678)
Her er utgangsfunksjonen, her kalt g(x) tegnet med likevektslinje y = 2, bare for å kunne sammenligne grafene til de to uttrykkene. Vi ser at de er identiske, med en faseforskyvning mot venstre på $ \frac{2,678}{3} = 0,89$.
Bevis
