Fordelinger

Binomisk fordeling

binominalfordeling

En binomisk sannsynlighetsmodell kan brukes dersom følgende tre kriterier er oppfylt:

• Et forsøk består i om en hendelse inntreffer eller ikke, altså kun to mulige utfall.

• Sannsynligheten p for at hendelsen skal inntreffe er den samme i alle forsøk

• Forsøkene er uavhengige av hverandre slik at resultatet fra et forsøk ikke virker inn på det neste.

Vi kaller dette en binomisk forsøksrekke. Dersom X er antall utfall i en binomisk forsøksrekke der hendelsen inntreffer er X en diskret stokastisk variabel med følgende sannsynlighetsfordeling:

<tex> P(x=X)= \left ({n}\\{x} \right) p^x \cdot (1-p)</tex>

n er antall forsøk.

Forventningsverdien til X er:

E(X) = np

Variansen til X er:

Var (X) = np(1-p)

Standardavviket er:

Eksempel 1:
Lyset beveger seg med en hastighet på ca. 300.000 km/sek. På standardform skrives det <tex>3,0 \cdot 10^5</tex>km/sek.

Enkelte kalkulatorer skriver det som 3,0E05

Hypergeometrisk fordeling

hypergeometrisk fordeling

Ligner på binomisk fordeling, men har følgende karakteristiske trekk:

• En populasjon med N elementer inneholder a elementer med en spesiell egenskap.

• Man foretar n trekninger UTEN tilbakelegging (sannsynligheten endrer seg).

• x er antall enheter med den bestemte egenskapen.

Sannsynligheten for at x av elementene som trekkes har egenskapen a er:

<tex>P(x=X)=\frac{\left ({a}\\{x} \right)\cdot \left ({N-a}\\{n-x} \right)}{\left ({N}\\{n} \right)}</tex>

binomisk vs. hypergeometrisk fordeling

Den hypergeometriske fordelingen ligner på den binomiske, med den forskjell at sannsynligheten i delforsøkene IKKE er den samme.

Den hypergeometriske modellen brukes når populasjonen er liten og man trekker ut en betydelig del av den.

Dersom populasjonen er stor vil den hypergeometriske modellen nærme seg den binomiske og man bruker da den binomiske fordi den er lettest å arbeide med da den har færre parametere.

Dersom populasjonen er stor i forhold til utvalget (N > 10n) gjelder:

Hypergeometrisk fordeling (N,M,n) ≈ Binomisk fordeling (n,p)

p =M/N

Hvorfor er det slik?

Tenk deg en urne med et 50 kuler av to typer. Dersom du trekker ut 20 kuler uten tilbakelegging, altså en stor andel av det totale antall kuler i urnen, vil sannsynligheten endre seg betydelig for hvert trekk. Dette er en hypergeometrisk situasjon.

Dersom man har en urne med 1000 kuler og trekker ut 5 kuler uten tilbakelegging vil endringen i sannsynlighet være neglisjerbar. Dette er også en hypergeometrisk situasjon, men siden endringen i sannsynlighet er neglisjerbar kan man regne binomisk da det gir enklere regning.