Figurer i rommet
Volum og Overflate
Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:
V = Grunnflate · høyde = G · h
Legemets overflate er gitt ved:
O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde
Terning
En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:
Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:
<tex>O = 6a^2</tex>
Eks:
En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?
<tex>O = 6 \cdot (6cm)^2 = 216cm^2</tex>
Eks:
En tening har en overflate på <tex>432cm^2</tex>. Hvor lange er sidekantene i terningen?
<tex>O = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac O6} = \sqrt{ \frac{432cm^2}{6}}= 8,5cm</tex>
Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3</tex>
Eks:
Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3 = (2cm)^3 = 8cm^3</tex>
Eks
En kube har et volum på <tex>125cm^3</tex>. Hva er lengden av en sidekant?
<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3 \Rightarrow a= \sqrt[3] V = \sqrt[3]{125cm^3}= 5cm</tex>
Prisme
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:
Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.
Grunnflate = lengde · bredde = l · b
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h
Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:
Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh
Sylinder
Volum:
<tex>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h </tex>
Overflate:
<tex> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:
<tex> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>
Pyramide
<tex>V </tex>
<tex>V </tex>
Kjegle
<tex>V = \frac{1}{3}\pi r^2h </tex>
<tex>V </tex>
<tex>V = </tex>
Kule
Volum:
<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 </tex>
Eksempel
En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?
<tex>V = \frac{4}{3}\pi (4cm)^3 = 268,1 cm^3 </tex>
Eksempel
En kule har volum <tex>712cm^3</tex>. Hva er radiusen?
<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ r = \sqr[3]{\frac{2V}{4 \pi}} \\ r = \sqr[3]{\frac{3 \cdot 268,1 cm^3}{4 \pi}} = 4</tex>
Overflate:
<tex>O = 4 \pi r^2 </tex>
Eksempel
En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?
<tex>O = 4 \pi r^2 = 4 \pi (6cm)^2 = 452,4 cm^2 </tex>
Eksempel
En kule har overflate <tex>400cm^2</tex>. Hva er diameteren?
<tex> O = 4 \pi r^2 \\ r= sqrt{ \frac{O}{4 \pi}} \\ r= sqrt{ \frac{400 cm^2}{4 \pi}}= 5,64</tex>
d = 2r = 11,3 cm.
