Faktorisering, Delelighet, Fellesnevner

Faktorisering av tall

Faktorisering er ofte brukt i matematikken. Det går ut på å skrive et tall som produktet av faktorer. Tallet 4 kan skrives som 2 · 2. Dersom vi skriver 4 som 2 ·2 har vi faktorisert 4. Dette bruker vi ofte når vi skal finne fellesnevner eller forkorte.

Dersom vi skriver 8 = 2 · 4 har vi faktorisert 8. Men, vi har ikke primtallsfaktorisert siden 4 ikke er et primtall. Dersom vi skriver 8 = 2 · 2 · 2 har vi primtallsfaktorisert 8.

Gjør følgende:

Skriv tallet som skal faktoriseres på venstre side av en lang loddrett strek. Begynn med å prøve å dele tallet på 2. Dersom det er mulig skriver du 2 på høyre side av streken og svaret du får under tallet på venstre side av streken. Når du ikke kan dele på 2 lenger prøver vi med 3. Slik fortsetter vi med 5, 7 osv. Dersom man multiplisere alle primtallene på høyre side av streken skal man få det tallet man startet med.

Eksempel 1:
16 faktorisert skrives slik:

Vi delte på to fire ganger. Dersom vi multipliserer divisorene ender vi opp med det tallet vi startet med.

2 ·2 · 2 · 2 =16

16 på faktorisert form skrives altså som 2 · 2 · 2 · 2.

Eksempel 2:
Vi faktoriserer tallene 162, 12 og 4620.

Vi begynner med å dele på 2. Når det ikke går lenger prøver vi med det neste primtallet.

$162= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 $

$12= 2 \cdot 2 \cdot 3 $

$4620 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 $

Delelighet

Delelig med 2:

Et tall er delelig med to når siste siffer i tallet er delelig med to eller når det slutter på null.

Eksempel 3:

24 er delelig med 2 fordi siste siffer, 4, er delelig med 2. 10 er delelig med to fordi det slutter med 0.

Delelig med 3:

Dersom tallets tverrsum er delelig med tre er tallet delelig med tre.

Eksempel 4:

36 er delelig med 3 fordi tverrsummen av 36 er 3 + 6= 9 og 9 er delelig med 3.

Delelig med 5:

Tall som ender på 0 og 5 er delelige med 5.

Eksempel 5:

65 er delelig med 5 fordi det siste siffer i tallet er 5.

Video eksempel

Test deg selv

Fellesnevner

Når vi skal finne fellesnevner må vi først faktorisere alle nevnerne. Vi bruker metoden i eksempel 1 og 2:

Eksempel 6:

Vi har nevnerne 15, 8 og 20. Disse faktoriseres som vist i eksemplet over. Fellesnevneren må inneholde alle faktorene av 15, 8 og 20.

Vi begynner med den minste faktoren, 2. Den forekommer tre ganger i 8 og to ganger i 20. Vi har følgende regel:

"den som har flest vinner".

Vi begynner med de laveste tallet som er to. Åtte faktorisert gir tre (grønne) toere, altså skal disse med i fellesnevner. Når vi faktoriserer 15 får vi 3 og 5 (rød). Vi har ikke disse med i fellesnevnere fra før, så disse må være med. Fellesnevneren ser da slik ut:

Det betyr at vi trenger tre 2 -ere i fellesnevner. Neste tall er 3, som det bare er en av. Vi ser at det er to 5 -ere, en fra 15 og en fra 20. Vi tar med en 5 -er.

Fellesnevner, som også kalles minste felles multiplum, er:

FN = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120

Figuren viser at fellesnevner inkluderer alle faktorene som forekommer i hver av de faktoriserte nevnerne.

De faktorene som er med i fellesnevner og ikke i brøkens nevner, er de faktorene brøken må utvides med for at man oppnår å få fellesnevner i brøken. (se Brøkregning ).

Video eksempel

MFM

Minste felles multiplum skrives ofte MFM. Dersom vi skal finne minste felles multiplum av 12 og 18 starter vi med å faktorisere begge tallene: 12 = 2·2·3 og 18 = 2·3·3. I dette tilfellet blir MFM = 2·2·3·3 = 36, fordi 36 er det minste tallet både 12 og 18 går opp i, altså deres minste felles multiplum.

Vi skriver det slik:

mfm(12, 18) = 36

Dette finne vi ved å samle primtallsfaktorene fra 2 og oppover, der flest antall "like" er tellende; vi samler 2-er faktorene fra 12 fordi 12 har to 2-er faktorer mens 18 bare har en. Treerfaktorene kommer fra 18 fordi 18 har to 3-er faktorer mot 12's ene.

SFD

Det største tallet som går opp i både 12 og 18 er 6. Vi sier at 6 er største felles divisor, sfd, eller største felles mål.

Vi skriver det slik:

sfd ( 12, 18) = 6

Sammenhengen mellom minste felles multiplum og største felles divisor er:

a·b = mfm (a ,b)· sfd (a, b)

Eksempel 7:

Produktet av 16 og 24 er $16 \cdot 24= 384$

$16= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

$24= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

$MFM(16, 24)= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48$

$SFD(16, 24) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Vi observerer at

$MFM(16, 24) \cdot SFD(16,24) = 48 \cdot 8 = 384$ som jo er produktet av 16 og 24.

Faktorisering av ledd

$4x^2-8x = 4x(x-2)$

Uttrykket består av to ledd på venstre side. Ledd er uttrykk som adskilles av pluss eller minus. I eksempelet er $4x^2$ og $8x$ to ledd. På høyresiden har man tre faktorer, 4, x og (x-2). Faktorer er del av et produkt.

Når du har klart for deg hva et ledd er og hvor mange ledd det er i utrykket, ser du etter felles faktorer i leddene, og setter det / dem utenfor en parentes. Det som står igjen inni parentesen er den faktoren du må gange det som står på utsiden av parentesen med, for å komme tilbake til uttrykket som var utgangspunktet.

Test deg selv

---

Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside