Forskjell mellom versjoner av «Eksempel på derivasjon med produktregelen»
| (2 mellomliggende revisjoner av en annen bruker er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
Eksempler for derivering med [[Derivasjonsregler|produktregelen]]. | Eksempler for derivering med [[Derivasjonsregler|produktregelen]]. | ||
| − | + | <math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math> | |
==Eksempel 1== | ==Eksempel 1== | ||
| − | La oss si vi ønsker å derivere funksjonen < | + | La oss si vi ønsker å derivere funksjonen <math>2x\cdot \text{e}^x</math>. |
Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen. | Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen. | ||
| − | Vi setter < | + | Vi setter <math>f(x) = 2x</math> og <math>g(x) = \text{e}^x</math>. Vi deriverer funksjonene hver for seg: <math>f^{\small\prime}(x) = 2</math>, og <math>g^{\small\prime}(x) = \text{e}^x</math>. |
Produktregelen sier: | Produktregelen sier: | ||
| − | < | + | <math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math> |
Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'. | Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'. | ||
| − | < | + | <math>\big[2x\cdot \text{e}^x\big]^{\small\prime} \;=\; 2\cdot \text{e}^x + 2x\cdot \text{e}^x \;=\; \underline{\underline{\text{e}^x\big(2+2x\big)}}</math> |
==Eksempel 2== | ==Eksempel 2== | ||
Noen ganger bruker vi produktregelen flere ganger. Det er vi nødt til hvis vi vil derivere uttrykk av formen | Noen ganger bruker vi produktregelen flere ganger. Det er vi nødt til hvis vi vil derivere uttrykk av formen | ||
| − | < | + | <math>2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)</math>. |
| − | Her tenker vi på < | + | Her tenker vi på <math>f(x) = 2x\cdot\text{e}^x</math> og <math>g(x) = \cos(x)</math>. |
Vi deriverer funksjonene f og g hver for seg. Siden f(x) er et produkt må den deriveres med produktregelen, men det gjorde vi i eksempel 1. | Vi deriverer funksjonene f og g hver for seg. Siden f(x) er et produkt må den deriveres med produktregelen, men det gjorde vi i eksempel 1. | ||
| − | Vi har < | + | Vi har <math>f^{\small\prime}(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x</math> og <math>g^{\small\prime}(x) = -\sin(x)</math> |
Produktregelen sier: | Produktregelen sier: | ||
| − | < | + | <math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math> |
Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'. | Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'. | ||
| − | < | + | <math>\big[2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)\big]^{\small\prime} \;=\; \big(2\text{e}^x + 2x\text{e}^x\big)\cos(x) + \big(2x\cdot\text{e}^x\big)\big(-\sin(x)\big) \;=</math> |
| − | < | + | <math>2\text{e}^x\cos(x) + 2x\text{e}^x\cos(x) - 2x\text{e}^x\sin(x) \;=\; \underline{\underline{2\text{e}^x\big(cos(x) + x\cos(x) - x\sin(x)\big)}}</math> |
[[Category:analyse]][[Category:derivasjon]] | [[Category:analyse]][[Category:derivasjon]] | ||
Nåværende revisjon fra 24. sep. 2017 kl. 09:25
Eksempler for derivering med produktregelen. <math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>
Eksempel 1
La oss si vi ønsker å derivere funksjonen <math>2x\cdot \text{e}^x</math>. Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen.
Vi setter <math>f(x) = 2x</math> og <math>g(x) = \text{e}^x</math>. Vi deriverer funksjonene hver for seg: <math>f^{\small\prime}(x) = 2</math>, og <math>g^{\small\prime}(x) = \text{e}^x</math>.
Produktregelen sier:
<math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>
Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.
<math>\big[2x\cdot \text{e}^x\big]^{\small\prime} \;=\; 2\cdot \text{e}^x + 2x\cdot \text{e}^x \;=\; \underline{\underline{\text{e}^x\big(2+2x\big)}}</math>
Eksempel 2
Noen ganger bruker vi produktregelen flere ganger. Det er vi nødt til hvis vi vil derivere uttrykk av formen <math>2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)</math>.
Her tenker vi på <math>f(x) = 2x\cdot\text{e}^x</math> og <math>g(x) = \cos(x)</math>.
Vi deriverer funksjonene f og g hver for seg. Siden f(x) er et produkt må den deriveres med produktregelen, men det gjorde vi i eksempel 1.
Vi har <math>f^{\small\prime}(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x</math> og <math>g^{\small\prime}(x) = -\sin(x)</math>
Produktregelen sier:
<math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>
Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.
<math>\big[2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)\big]^{\small\prime} \;=\; \big(2\text{e}^x + 2x\text{e}^x\big)\cos(x) + \big(2x\cdot\text{e}^x\big)\big(-\sin(x)\big) \;=</math>
<math>2\text{e}^x\cos(x) + 2x\text{e}^x\cos(x) - 2x\text{e}^x\sin(x) \;=\; \underline{\underline{2\text{e}^x\big(cos(x) + x\cos(x) - x\sin(x)\big)}}</math>
