Eksempel på derivasjon med produktregelen

Eksempler for derivering med produktregelen.

<tex>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</tex>

Eksempel 1

La oss si vi ønsker å derivere funksjonen <tex>2x\cdot \text{e}^x</tex>. Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen.

Vi setter <tex>f(x) = 2x</tex> og <tex>g(x) = \text{e}^x</tex>. Vi deriverer funksjonene hver for seg: <tex>f^{\small\prime}(x) = 2</tex>, og <tex>g^{\small\prime}(x) = \text{e}^x</tex>.

Produktregelen sier:

<tex>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</tex>

Vi setter inn våre funksjoner, og de deriverte

<tex>\big[2x\cdot \text{e}^x\big]^{\small\prime} \;=\; 2\cdot \text{e}^x + 2x\cdot \text{e}^x \;=\; \text{e}^x\big(2+2x\big)</tex>