Forskjell mellom versjoner av «Den rette linje»
(Ny side: ---- Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside<p></p> Tilbake til hovedside) |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
(2 mellomliggende revisjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
+ | ===Lineære funksjoner=== | ||
+ | |||
+ | Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er: | ||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | <math> Y = aX + b </math> | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen. | ||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen. | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi. | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null. | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
+ | '''EKSEMPEL:'''<br> Vi har funksjonsuttrykket: | ||
+ | <math> Y = \frac12X + 2 </math> <br> Grafen ser slik ut:<br> [[Bilde:linje.PNG]] <br> | ||
+ | Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <math>\frac12</math>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen. | ||
+ | |||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=11 Lek med rette linjer] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell. | ||
+ | |||
+ | ==== Verditabell ==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo. | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien. | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut: | ||
+ | |||
+ | <p></p> | ||
+ | Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen. | ||
+ | |||
+ | Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller. | ||
+ | |||
+ | Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet. | ||
+ | |||
+ | <br> | ||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Eksempel:''' <br><br> | ||
+ | Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2. | ||
+ | |||
+ | <br><br>Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:<br> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <table border="1" cellpadding="10"> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <tr> | ||
+ | <td> x <br></td> | ||
+ | <td> f(x)= 2x - 3 </td> | ||
+ | <td> f(x) </td> | ||
+ | <td>(x, f(x))</td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> -2</td> | ||
+ | <td> f(-2) = 2 (-2) - 3 </td> | ||
+ | <td> f(-2)= -7</td> | ||
+ | <td> (-2, -7)</td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>-1 </td> | ||
+ | <td> f(-1) = 2 (-1) – 3</td> | ||
+ | <td> f(-1) = -5</td> | ||
+ | <td> (-1,-5) </td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> 0 </td> | ||
+ | <td> f(0) = 2 (0) – 3</td> | ||
+ | <td> f(0)= -3</td> | ||
+ | <td> (0, -3)</td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> 1</td> | ||
+ | <td> f(1) = 2 (1)– 3</td> | ||
+ | <td> f(1)= - 1</td> | ||
+ | <td> (1, -1) </td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> 2 </td> | ||
+ | <td> f(2) = 2 (2) – 3</td> | ||
+ | <td> f(2) = 1</td> | ||
+ | <td> (2, 1) </td> | ||
+ | |||
+ | </tr> | ||
+ | |||
+ | </table> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Og grafen ser slik ut: | ||
+ | |||
+ | [[Bilde:linje2.PNG]] | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | ====Ettpunktsformelen==== | ||
+ | |||
+ | Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | <math> y-y_1 = a(x-x_1) </math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | a er stigningstallet og <math>(x_1 , y_1) </math> er koordinatene til punktet. | ||
+ | <p></p> | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
+ | Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2, | ||
+ | -1)?<p></p> | ||
+ | |||
+ | <math> y-(-1) = 2(x-(-2)) </math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | <math> y = 2x + 3 </math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
+ | |||
+ | ====Topunktsformelen==== | ||
+ | |||
+ | Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som: | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | <math> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> | ||
+ | <p></p>Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:<p></p> | ||
+ | <math> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <p></p> | ||
+ | |||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
+ | <math> EKSEMPEL </math> | ||
+ | </blockquote> | ||
Nåværende revisjon fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Lineære funksjoner
Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:
<math> Y = aX + b </math>
a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.
Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.
Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.
Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.
EKSEMPEL:
Vi har funksjonsuttrykket: <math> Y = \frac12X + 2 </math>
Grafen ser slik ut:
Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <math>\frac12</math>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.
Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.
Verditabell
Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.
Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.
Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:
Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.
Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.
Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.
Eksempel:
Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.
Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:
x f(x)= 2x - 3 f(x) (x, f(x)) -2 f(-2) = 2 (-2) - 3 f(-2)= -7 (-2, -7) -1 f(-1) = 2 (-1) – 3 f(-1) = -5 (-1,-5) 0 f(0) = 2 (0) – 3 f(0)= -3 (0, -3) 1 f(1) = 2 (1)– 3 f(1)= - 1 (1, -1) 2 f(2) = 2 (2) – 3 f(2) = 1 (2, 1)
Og grafen ser slik ut:
Ettpunktsformelen
Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:
<math> y-y_1 = a(x-x_1) </math>
a er stigningstallet og <math>(x_1 , y_1) </math> er koordinatene til punktet.
Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,
-1)?
<math> y-(-1) = 2(x-(-2)) </math>
<math> y = 2x + 3 </math>
Topunktsformelen
Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:
<math> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:
<math> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) </math>
<math> EKSEMPEL </math>