Forskjell mellom versjoner av «Den rette linje»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
 
Linje 1: Linje 1:
  
 +
===Lineære funksjoner===
 +
  
 +
Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:
 +
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 +
<tex>  Y = aX + b </tex>
 +
</blockquote>
 +
 +
a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 +
Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.
 +
<p></p>
 +
Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.
 +
<p></p>
 +
Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 +
'''EKSEMPEL:'''<br> Vi har funksjonsuttrykket:
 +
<tex>  Y = \frac12X + 2 </tex> <br> Grafen ser slik ut:<br> [[Bilde:linje.PNG]] <br>
 +
Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <tex>\frac12</tex>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.
 +
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=11 Lek med rette linjer]
 +
 +
 +
 +
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 +
 +
 +
Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.
 +
 +
==== Verditabell ====
 +
 +
 +
 +
 +
Vi velger selv tilfeldige X verdier.  Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.
 +
<p></p>
 +
Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.
 +
<p></p>
 +
Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:
 +
 +
<p></p>
 +
Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.
 +
 +
Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.
 +
 +
Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.
 +
 +
<br>
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
'''Eksempel:'''  <br><br>
 +
Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.
 +
 +
<br><br>Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:<br>
 +
 +
 +
<table border="1" cellpadding="10">
 +
 +
 +
<tr>
 +
  <td>  x  <br></td>
 +
  <td> f(x)= 2x - 3 </td>
 +
  <td> f(x) </td>
 +
<td>(x, f(x))</td>
 +
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
  <td> -2</td>
 +
  <td> f(-2) = 2 (-2) - 3 </td>
 +
  <td> f(-2)= -7</td>
 +
  <td> (-2, -7)</td>
 +
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
  <td>-1 </td>
 +
  <td> f(-1) = 2 (-1) – 3</td>
 +
  <td> f(-1) = -5</td>
 +
  <td> (-1,-5) </td>
 +
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
  <td> 0 </td>
 +
  <td> f(0) = 2 (0) – 3</td>
 +
  <td> f(0)= -3</td>
 +
  <td> (0, -3)</td>
 +
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
  <td> 1</td>
 +
  <td>  f(1) = 2 (1)– 3</td>
 +
  <td> f(1)= - 1</td>
 +
  <td> (1, -1) </td>
 +
 +
</tr>
 +
<tr>
 +
  <td> 2 </td>
 +
  <td> f(2) = 2 (2) – 3</td>
 +
  <td> f(2) = 1</td>
 +
  <td> (2, 1) </td>
 +
 +
</tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
Og grafen ser slik ut:
 +
 +
[[Bilde:linje2.PNG]]
 +
</blockquote>
 +
 +
====Ettpunktsformelen====
 +
 +
Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:<br>
 +
<br>
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 +
<tex> y-y_1 = a(x-x_1) </tex>
 +
<p></p>
 +
a er stigningstallet og <tex>(x_1 , y_1) </tex> er koordinatene til punktet.
 +
<p></p>
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 +
Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,
 +
-1)?<p></p>
 +
 +
<tex> y-(-1) = 2(x-(-2)) </tex>
 +
<p></p>
 +
<tex> y = 2x + 3 </tex>
 +
<p></p>
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 +
 +
====Topunktsformelen====
 +
 +
Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:
 +
<br>
 +
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 +
<tex> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}  </tex>
 +
<p></p>Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:<p></p>
 +
<tex> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)  </tex>
 +
 +
 +
<p></p>
 +
 +
</blockquote>
 +
 +
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 +
<tex> EKSEMPEL </tex>
 +
</blockquote>
  
  

Revisjonen fra 21. nov. 2011 kl. 12:04

Lineære funksjoner

Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:

<tex> Y = aX + b </tex>

a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.

Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.

Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.

Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.


EKSEMPEL:
Vi har funksjonsuttrykket: <tex> Y = \frac12X + 2 </tex>
Grafen ser slik ut:
Linje.PNG
Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <tex>\frac12</tex>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.


Lek med rette linjer


Test deg selv


Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.

Verditabell

Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.

Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.

Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:

Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.

Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.

Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.





Eksempel:

Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.



Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:


x
f(x)= 2x - 3 f(x) (x, f(x))
-2 f(-2) = 2 (-2) - 3 f(-2)= -7 (-2, -7)
-1 f(-1) = 2 (-1) – 3 f(-1) = -5 (-1,-5)
0 f(0) = 2 (0) – 3 f(0)= -3 (0, -3)
1 f(1) = 2 (1)– 3 f(1)= - 1 (1, -1)
2 f(2) = 2 (2) – 3 f(2) = 1 (2, 1)




Og grafen ser slik ut:

Linje2.PNG

Ettpunktsformelen

Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:

<tex> y-y_1 = a(x-x_1) </tex>

a er stigningstallet og <tex>(x_1 , y_1) </tex> er koordinatene til punktet.


Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,

-1)?

<tex> y-(-1) = 2(x-(-2)) </tex>

<tex> y = 2x + 3 </tex>



Test deg selv

Topunktsformelen

Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:

<tex> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </tex>

Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:

<tex> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) </tex>


<tex> EKSEMPEL </tex>






Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside

Hentet fra «https://matematikk.net/w/index.php?title=Den_rette_linje&oldid=6542»
Powered by MediaWiki