Delbarhet og faktorisering
Faktorer
Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Dette kan vi også lese som "b deler a" og "c deler a".
Dersom <tex>a | b</tex> så er dette ekvivalent med at <tex>a \cdot k = b</tex> for et tall <tex>k</tex>. Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>.
Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet. De fleste bør være kjent:
Grunnleggende regler for delelighet
- For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:
- <tex>1 | a</tex>
- <tex>a | a </tex>
- <tex>a | 0</tex>
- Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
- <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>
Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for sammensatte tall. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi primtall. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:
- Aritmetikkens fundamentalsetning
- Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives entydig som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.
Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)
- Eksempel:
- Vi har at
- <tex>21 = 3 \cdot 7</tex>
- <tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>
- <tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>
- De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor entydige. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.
