Forskjell mellom versjoner av «Bokstavregning»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
 
(48 mellomliggende revisjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
 
 
Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.  
 
Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.  
  
Linje 9: Linje 8:
 
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
 
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
  
Arealet blir: <tex>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</tex>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
+
Arealet blir: <math>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</math>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
  
Et areal som gjelder for alle radier er: <tex> A= \pi r^2</tex>
+
Et areal som gjelder for alle radier er: <math> A= \pi r^2</math>
  
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.
+
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning) fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.
  
 
== Regneregler ==
 
== Regneregler ==
Linje 23: Linje 22:
  
 
Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.  
 
Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
 
 +
 
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
 
a + b = b + a<p></p>
 
a + b = b + a<p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel:'''<p></p>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 1:'''<p></p>
 
4 + 2 = 2 + 4 = 6<p></p>
 
4 + 2 = 2 + 4 = 6<p></p>
</blockquote>
+
</div>
Test deg selv
+
 
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
 
(a + b) + c = a + (b + c) <p></p>
 
(a + b) + c = a + (b + c) <p></p>
</blockquote>
+
</div>
 +
 
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>
+
'''Eksempel 2:'''<p></p>
 
(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5<p></p>
 
(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5<p></p>
</blockquote>
+
</div>
Test deg selv
+
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
 
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
 
a + a + a + a = 4a <p></p>
 
a + a + a + a = 4a <p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel:'''<p></p>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 3:'''<p></p>
 
a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2<p></p>
 
a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2<p></p>
</blockquote>
+
</div>
Test deg selv
+
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
 
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
<tex> a \cdot a \cdot a = a^3</tex> <p></p>
+
<math> a \cdot a \cdot a = a^3</math> <p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel:'''<p></p>
 
<tex> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</tex><p></p>
 
</blockquote>
 
Test deg selv
 
  
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 4:'''<p></p>
 +
<math> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</math><p></p>
 +
</div>
  
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
<tex> a \cdot b = b \cdot a </tex><p></p>
+
<math> a \cdot b = b \cdot a </math><p></p>
</blockquote>
+
</div>
 +
 
 +
 
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 5:'''<p></p>
 +
<math>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</math><p></p>
 +
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel:'''<p></p>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<tex>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</tex><p></p>
 
</blockquote>
 
Test deg selv
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
 
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd <p></p>
 
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd <p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel:'''<p></p>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
<tex>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</tex><p></p>
+
'''Eksempel 6:'''<p></p>
</blockquote>
+
<math>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</math><p></p>
Test deg selv
+
</div>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
 
 +
 
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
 
a(b + c) = ab + ac <p></p>
 
a(b + c) = ab + ac <p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel:'''<p></p>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 7:'''<p></p>
 
3(2x +y) = 6x+3y <p></p>
 
3(2x +y) = 6x+3y <p></p>
</blockquote>
+
</div>
Test deg selv
+
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B22%2BB23%2BB24%2BB25%2BB26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
  
 
== Første kvadratsetning ==
 
== Første kvadratsetning ==
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
  
<tex>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</tex>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 +
 
 +
 
 +
<math>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
 
<p></p> Grafisk kan formelene over se slik ut:
 
<p></p> Grafisk kan formelene over se slik ut:
 
<p></p>
 
<p></p>
 
[[Bilde:Forste.png]]<p></p>
 
[[Bilde:Forste.png]]<p></p>
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel'''<p></p>  
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 8:'''<p></p>  
 
Regn ut:  
 
Regn ut:  
<tex> (x+2)^2 </tex><p></p>
+
<math> (x+2)^2 </math><p></p>
Man får:<p></p> <tex>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</tex>  
+
Man får:<p></p> <math>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</math>  
 
<p></p>
 
<p></p>
  
</blockquote>
+
</div>
 +
 
 
<p></p>
 
<p></p>
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A53%2BA54%2BA55%2BA56%2BA57%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A53%2BA54%2BA55%2BA56%2BA57%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
 
'''Eksempel'''<p></p>  
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
Faktoriser <tex>9 + 12x + 4x^2</tex><p></p>
+
'''Eksempel 9:'''<p></p>  
Man får:<p></p> <tex> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </tex>  
+
Faktoriser <math>9 + 12x + 4x^2</math><p></p>
 +
Man får:<p></p> <math> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </math>  
 
<p></p>
 
<p></p>
  
</blockquote>
+
</div>
 +
 
  
 
For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.<p></p>
 
For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.<p></p>
Linje 132: Linje 148:
  
 
== Andre kvadratsetning ==
 
== Andre kvadratsetning ==
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
  
<tex>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </tex>
+
<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math>
  
 
<p></p>
 
<p></p>
[[Bilde:Andre.png]]<p></p></blockquote>
+
[[Bilde:Andre.png]]<p></p></div>
 +
 
 +
 
  
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 10:''' <p></p>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
Regn ut<p></p> <math>(x - 2y)^2</math>
Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex>
+
<p></p>
<tex>'''Eksempel'''<p></p>Regn ut <p></p><tex>(x - 2y)^2</tex><p></p>
 
 
Løsning<p></p>
 
Løsning<p></p>
<tex>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>
+
<math>x^2- 4xy + 4y^2 </math>
</tex>
 
  
<p></p></blockquote>
 
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
<p></p></div>
Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex><p></p>
 
<tex>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>
 
  
<p></p></blockquote>
 
  
 +
<p></p>
 +
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A5D%2BA5E%2BA5F%2BA60%2BA61%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
  
Eksempel 11:
 
  
  
Man får: (x - 2y)2 = x 2- 4xy + 4y2
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
'''Eksempel 11:'''<p></p>
 +
Faktoriser <math>x^2-12x+36</math><p></p>
 +
Løsning:<p></p>
 +
<math>(x-6)^2 </math>
  
Eksempel 12:
+
<p></p></div>
Faktoriser 81a2 - 36a + 4
 
  
Løsning: 81a2 - 36a + 4 = (9a - 2)2
+
 
 +
<p></p>
 +
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A62%2BA63%2BA64%2BA65%2BA66%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
  
 
== Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning) ==
 
== Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning) ==
 
   
 
   
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
  
<tex>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</tex>  
+
<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math>  
 
<p></p> Grafisk kan likningen tolkes slik:
 
<p></p> Grafisk kan likningen tolkes slik:
 
<p></p>
 
<p></p>
 
[[Bilde:Tredje.png]]<p></p>
 
[[Bilde:Tredje.png]]<p></p>
  
</blockquote>
+
</div>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex>
 
<tex> </tex>
 
  
<p></p></blockquote>
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
<p></p>
  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
+
'''Eksempel 12:'''  <p></p>
Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex>
+
Regn ut <math>(x- 4)(x+4)</math><p></p>
<tex> </tex>
+
Løsning<p></p>
 +
<math>x^2-16 </math>
  
<p></p></blockquote>
+
<p></p></div>
  
 +
<p></p>
 +
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A67%2BA68%2BA69%2BA6A%2BA6B%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
  
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
  
 
+
<p></p>'''Eksempel 13:'''  <p></p>
Eksempel 13:  
+
Faktoriser<p></p><math>x^2-1</math><p></p>Løsning<p></p>
Faktoriser x2 - 4y2
+
<math>(x-1)(x+1) </math>
 
+
Her må man huske at <math>1^2 = 1 </math>
Man får: x2 - 4y2 = (x-2y)(x+2y)
+
<p></p></div>
 
+
<p></p>
Eksempel 14:
+
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A6C%2BA6D%2BA6E%2BA6F%2BA70%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
Faktoriser x 2-1
 
 
 
Løsning: x 2-1 = (x-1)(x+1)
 
 
 
Her er det viktig å huske at 1 = 12
 
  
 
== Forkorting ==
 
== Forkorting ==
Linje 211: Linje 228:
 
Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.  
 
Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.  
  
Eksempel 15:
 
Forkort uttrykket:
 
  
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 +
<p></p>'''Eksempel 14:'''  <p></p>
 +
Skriv<math> \frac{x^2-1}{x+1} </math> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
 +
<math> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</math>
  
 +
<p></p></div>
  
Løsning:
 
  
 +
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
  
 +
<p></p>'''Eksempel 15:'''  <p></p>
 +
Skriv<math> \frac{x-1}{x^2-1} </math> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
 +
<math> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</math>
  
Eksempel 16:
+
<p></p></div>
Forkort uttrykket:
+
Test deg selv
 
 
 
 
Løsning:
 
 
 
 
 
Eksempel 17:
 
Forkort uttrykket:
 
 
 
 
 
 
 
Løsning:
 
 
 
 
 
 
 
Eksempel 18:
 
Forkort uttrykket:
 
 
 
 
 
 
 
Vi ser at (x-1) er en faktor i både teller og nevner, derfor kan vi forkorte den bort. Det blir imidlertid stående en igjen. Det er bare når vi har faktorer at vi kan forkorte. Dersom vi har et ledd kan vi ikke forkorte, selv om leddet er en del av en faktor. (Vi kan selvfølgelig forkorte hele faktoren dersom det er mulig.)
 
 
 
Hvilket av de to svarene vi velger avhenger av smak og behag og hva vi skal bruke resultatet til. Begge bør bli godtatt.
 
 
 
Eksempel 19:
 
Skriv enklest mulig:
 
 
 
 
 
 
 
Husk at når du forkorter blir det alltid en igjen. Selv om vi har forkortet bort tre u'er i teller og nevner står vi fortsatt igjen med en i teller
 
 
 
Eksempel 20:
 
Skriv enklest mulig:
 
 
 
 
 
 
 
Av og til må man bare akseptere at utrykket ikke kan forkortes. Da er det bare å sette to streker under svaret. Det kunne jo være fristende å prøve å forkorte a'ene, men det er ikke mulig da a'ene i teller ikke er en faktor, men et ledd.
 
  
Eksempel 21:  
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
Skriv enklest mulig:
 
  
 +
<p></p>'''Eksempel 16:'''  <p></p>
 +
Skriv <math> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </math> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
 +
<math> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</math>
  
  
Vi skal prøv å forenkle utrykket. Det ser jo ikke spesielt lovende ut her.. Vel, hovedregelen når vi skal forenkle brøkuttrykk er å tenke faktorisering. Vi ser at telleren er andre kvadratsetning og kan skrives som (w - 3)(w - 3). I nevner ser vi at tallet to kan settes utenfor en parentes. Utrykket i parentesen gjenkjenner vi som konjugatsetningen. Vi får:
+
<p></p></div>
  
  
  
Eksempel 22:  
+
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
Trekk sammen og skriv enklest mulig:
 
  
 +
<p></p>'''Eksempel 17'''  <p></p>
 +
Skriv enklest mulig:<p></p><math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</math><p></p>
 +
Løsning:<p></p>
 +
<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</math>
  
 +
<p></p></div>
  
Regelen er at vi multipliserer ut alle parentesene først. Deretter samler vi andregradsleddene for seg, førstegradsleddene for seg og tallene for seg. Dette er enkelt nok, men tidkrevende. Vær forsiktig, det er lett å gjøre fortegnsfeil her!
 
  
Eksempel 23:
+
----
Skriv enklest mulig:
 
  
  
 +
[[Ungdomstrinn Hovedside | Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside]]<p></p>
 +
[[Hovedside| Tilbake til hovedside]]
  
Først finner vi fellesnevner. Sett utrykket på felles brøkstrek. Multipliser ut i teller og trekk sammen. La nevner stå faktorisert. Når teller er regnet ut faktoriseres den. Forkort det som er mulig, i dette tilfellet 2∙2.
+
[[Category:Algebra]]
 +
[[Category:U - trinn]]  [[Category:Ped]]

Nåværende revisjon fra 2. feb. 2017 kl. 20:52

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.


Hvorfor bokstaver?

En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?

Arealet blir: <math>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</math>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for alle radier er: <math> A= \pi r^2</math>

Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning) fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Regneregler

Se på uttrykket 2x + 4ab

  • LEDD, utrykket består av to ledd, 2x og 4ab. Ledd adskilles med pluss eller minus.
  • FAKTOR, leddet 2x er et PRODUKT av to faktorer; 2 og x. Faktorer adskilles med multiplikasjonstegn (gangetegn). Dersom det ikke kan missforståes er det vanlig å utelate multiplikasjonstegnet. 4ab er et produkt av faktorene 4, a og b. Man kunne ha skrevet 4ab som 4∙a∙b, men siden det ikke er grunnlag for å misforstå sløyfer vi gangetegnet.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.


Regel:

a + b = b + a


Eksempel 1:

4 + 2 = 2 + 4 = 6


Regel:

(a + b) + c = a + (b + c)


Eksempel 2:

(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5


Regel:

a + a + a + a = 4a


Eksempel 3:

a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2


Regel:

<math> a \cdot a \cdot a = a^3</math>


Eksempel 4:

<math> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</math>


Regel:

<math> a \cdot b = b \cdot a </math>


Eksempel 5:

<math>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</math>


Regel:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd


Eksempel 6:

<math>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</math>


Regel:

a(b + c) = ab + ac


Eksempel 7:

3(2x +y) = 6x+3y

Test deg selv

Første kvadratsetning


<math>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>

Grafisk kan formelene over se slik ut:

Forste.png


Eksempel 8:

Regn ut:

<math> (x+2)^2 </math>

Man får:

<math>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</math>

Test deg selv


Eksempel 9:

Faktoriser <math>9 + 12x + 4x^2</math>

Man får:

<math> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </math>


For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.

Test deg selv

Andre kvadratsetning

<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math>

Andre.png


Eksempel 10:

Regn ut

<math>(x - 2y)^2</math>

Løsning

<math>x^2- 4xy + 4y^2 </math>



Test deg selv


Eksempel 11:

Faktoriser <math>x^2-12x+36</math>

Løsning:

<math>(x-6)^2 </math>


Test deg selv

Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning)

<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math>

Grafisk kan likningen tolkes slik:

Tredje.png


Eksempel 12:

Regn ut <math>(x- 4)(x+4)</math>

Løsning

<math>x^2-16 </math>

Test deg selv

Eksempel 13:

Faktoriser

<math>x^2-1</math>

Løsning

<math>(x-1)(x+1) </math> Her må man huske at <math>1^2 = 1 </math>

Test deg selv

Forkorting

Poenget med å forkorte et uttrykk er ønsket om å skrive det enklest mulig. Dersom et brøk uttrykk har en fator med samme verdi både i teller og nevner kan disse forkortes. Før man forkorter må man faktorisere. Det er ikke alle uttrykk som lar seg forkorte.

Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.


Eksempel 14:

Skriv<math> \frac{x^2-1}{x+1} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</math>


Eksempel 15:

Skriv<math> \frac{x-1}{x^2-1} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</math>

Test deg selv

Eksempel 16:

Skriv <math> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</math>



Eksempel 17

Skriv enklest mulig:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</math>

Løsning:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</math>




Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside