Forskjell mellom versjoner av «Bevis for derivasjon av produkt»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
Linje 3: | Linje 3: | ||
<math> | <math> | ||
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | ||
− | </ | + | </math> dersom grensen eksisterer. |
<br><br> | <br><br> | ||
Videre har man at: | Videre har man at: | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
<math> | <math> | ||
− | f(x)=g(x) \cdot h(x)</ | + | f(x)=g(x) \cdot h(x)</math><br>og<br> <br><math> |
− | g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</ | + | g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math> |
og <math> | og <math> | ||
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | ||
− | </ | + | </math><br> |
Som gir:<br><br><math> | Som gir:<br><br><math> | ||
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | ||
− | </ | + | </math><br><br><br> |
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | ||
− | gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</ | + | gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller.<br> |
Man får da:<br><br><math> | Man får da:<br><br><math> | ||
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | ||
<br><br> | <br><br> | ||
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x} | = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x} | ||
− | </ | + | </math> |
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
<math> | <math> | ||
Linje 30: | Linje 30: | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)<br> | =g'(x)h(x)+h'(x)g(x)<br> | ||
− | </ | + | </math><br>Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer. |
[[Category:Bevis]] | [[Category:Bevis]] | ||
[[Category:Derivasjon]] | [[Category:Derivasjon]] | ||
[[Category:lex]] | [[Category:lex]] |
Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Vi har:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
</math> dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
<math>
f(x)=g(x) \cdot h(x)</math>
og
<math>
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math>
og <math>
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x}
</math>
Som gir:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller.
Man får da:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
<math>
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)
=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)
</math>
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.