Forskjell mellom versjoner av «Bevis for derivasjon av produkt»
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
|||
| Linje 9: | Linje 9: | ||
<math> | <math> | ||
f(x)=g(x) \cdot h(x)</math><br>og<br> <br><math> | f(x)=g(x) \cdot h(x)</math><br>og<br> <br><math> | ||
| − | g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math> | + | g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math> |
| − | + | ||
| + | og | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | ||
</math><br> | </math><br> | ||
| − | Som gir:<br><br><math> | + | |
| + | Som gir: | ||
| + | |||
| + | <br><br><math> | ||
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | ||
</math><br><br><br> | </math><br><br><br> | ||
| Linje 29: | Linje 35: | ||
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x) | = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x) | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
| − | =g'(x)h(x)+h'(x)g(x)<br> | + | =g'(x)h(x) + h'(x) g(x)<br> |
</math><br>Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer. | </math><br>Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer. | ||
[[Category:Bevis]] | [[Category:Bevis]] | ||
Revisjonen fra 24. sep. 2017 kl. 09:20
Vi har:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
</math> dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
<math>
f(x)=g(x) \cdot h(x)</math>
og
<math>
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math>
og
<math>
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x}
</math>
Som gir:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller.
Man får da:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
<math>
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)
=g'(x)h(x) + h'(x) g(x)
</math>
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.
