Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base
Vi kan velge andre tall enn 10 og e som base for logaritmen. Fordi man ofte bruker e innfører vi ln(x) som den naturlige logaritmen,
$log_e (x) = ln (x)$
Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$
$f(x) = log_b(x)$
Vi deriverer:
$(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b(x + \Delta x) - log_bx}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x})$
I den første overgangen bruker vi en logaritmesetning. Nå bruker vi en til.
$ \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x})^ {\frac{1}{\Delta x}}$
