Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base

Vi kan velge andre tall enn 10 og e som base for logaritmen. Fordi man ofte bruker e innfører vi ln(x) som den naturlige logaritmen,

$log_e (x) = ln (x)$

Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$

$f(x) = log_b(x) \quad ( b > 0 , b \neq 1) $

Vi deriverer:

$(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b(x + \Delta x) - log_bx}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x})$

I den første overgangen bruker vi en logaritmesetning. Nå multipliserer vi med $1 =\frac xx$

$ \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}( \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) )= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac xx \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) = \frac{1}{x} \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}( \frac{x}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) ) $

Bruker logaritmeregel for potens og får

$\frac{1}{x} \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}( log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) ^ {\frac{x}{\Delta x}})$

Som, fordi funksjonen er kontinuerlig, kan skrives

$\frac{1}{x} log_b( \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(1+ \frac{\Delta x}{x}) ^ {\frac{x}{\Delta x}}) = \frac 1x log_be $

Som er det samme som $ \frac 1x \cdot \frac {\ln e}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b}$

Derivasjonsregler