Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base

Vi kan velge andre tall enn 10 og e som base for logaritmen. Fordi man ofte bruker e innfører vi ln(x) som den naturlige logaritmen,

$log_e (x) = ln (x)$

Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$

$f(x) = log_b(x)$

Vi deriverer:

$(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b(x + \Delta x) - log_bx}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} =

\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x})$

I den første overgangen bruker vi en logaritmesetning. Nå bruker vi en til.

$ \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} log_b(1+ \frac{\Delta x}{x}) \frac{1}{\Delta x}$

Derivasjonsregler