Forskjell mellom versjoner av «Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base»
Fra Matematikk.net
| Linje 11: | Linje 11: | ||
Vi deriverer: | Vi deriverer: | ||
| − | $(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b{x + \Delta x | + | $(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b{(x + \Delta x) - log_bx}{\Delta x} = |
\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} = | \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} = | ||
e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ | e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ | ||
Revisjonen fra 7. okt. 2017 kl. 13:16
Vi kan velge andre tall enn 10 og e som base for logaritmen. Fordi man ofte bruker e innfører vi ln(x) som den naturlige logaritmen,
$log_e (x) = ln (x)$
Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$
$f(x) = log_b(x)$
Vi deriverer:
$(f(x))'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{log_b{(x + \Delta x) - log_bx}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ log_ b( \frac{x + \Delta x}{x})}{\Delta x} = e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$
