Bevis for derivasjon av e^x

Bevis for derivasjon av $e^x$

Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$

Da skal vi bevise at den deriverte til $e^x$ er det samme som $e^x$, fasinerende spør du meg. Du vil få bruk for regnereler for potenser.

$(e^x)'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x + \Delta x} - e^x}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x } \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$

Vi har et produkt av e i x og en grenseverdi. På tide å finne ut mere om grenseverdien.

$ \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$

Setter $ n ={e^{\Delta x} - 1}$

Da blir nevner $(n+1) = e^{\Delta x} \\ \Delta x = ln |n+1|$

Vi får da:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {n}{\ ln |n+1|}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\frac 1 n \ ln |n+1|}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\ ln( |n+1|)^{\frac 1 n }}= \frac{1}{ln(e)} = 1$

Over brukte vi identiteten i første linje. Vi får da at

$( e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$

Hvilket skulle bevises,

 Derivasjonsregler