Forskjell mellom versjoner av «Avstander mellom punkter, linjer og plan i rommet»
Fra Matematikk.net
(Ny side: == Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum) == I en mer generell kontekst er det euklidske rommet et metrisk vektorrom, dvs. at vi har definert en metrik...) |
|||
Linje 1: | Linje 1: | ||
− | |||
== Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum) == | == Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum) == | ||
Linje 13: | Linje 12: | ||
:<tex>d(x,y)=|x-y|</tex> | :<tex>d(x,y)=|x-y|</tex> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Her er x,y og z vektorer (selv om vi har droppet vektorpil). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Avstand mellom punkter == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Med metrikken i bakhodet definerer vi avstanden mellom punkter på vanlig måte, dvs. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<tex>d(x,y)=|x-y|=|y-x|</tex> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Avstand mellom et punkt og en linje == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi tenker oss en linje som en delmengde <tex>\mathcal{U}</tex> av hele det euklidkse rommet, dvs. at <tex>\mathcal{U}</tex> er mengden av alle punkter på linja. |
Revisjonen fra 11. feb. 2010 kl. 14:57
Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum)
I en mer generell kontekst er det euklidske rommet et metrisk vektorrom, dvs. at vi har definert en metrikk, eller avstandsfunksjon <tex>d(x,y)</tex>, som tilfredsstiller kravene
- <tex>\begin{array}{cl} I.& d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \\ II.& d(x,y)\geq 0 \, \forall x,y \\ III. & d(x,y)=d(y,x) \\ IV.& d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)\, \forall x,y,z \end{array}</tex>
Metrikken er i vårt tilfelle definert som
- <tex>d(x,y)=|x-y|</tex>
Her er x,y og z vektorer (selv om vi har droppet vektorpil).
Avstand mellom punkter
Med metrikken i bakhodet definerer vi avstanden mellom punkter på vanlig måte, dvs.
- <tex>d(x,y)=|x-y|=|y-x|</tex>
Avstand mellom et punkt og en linje
Vi tenker oss en linje som en delmengde <tex>\mathcal{U}</tex> av hele det euklidkse rommet, dvs. at <tex>\mathcal{U}</tex> er mengden av alle punkter på linja.