|
|
| Linje 1: |
Linje 1: |
| | | | |
| − | == Innledning ==
| |
| − |
| |
| − | Fra siden om [[potenser uten brøkeksponent]] vet vi at $x \cdot x = x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre".
| |
| − | Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | En '''andregradslikning''' er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.
| |
| − |
| |
| − | En løsninger av en likning kalles også en ''rot'' i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − | En fullstendig andregradslikning skrives på formen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + bx + c = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Likningen har tre ledd:
| |
| − |
| |
| − | * <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet,
| |
| − | * <math> bx </math> kalles førstegradsleddet,
| |
| − | * <math> c </math> kalles konstantleddet.
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Ufullstendig likninger ==
| |
| − |
| |
| − | Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig.
| |
| − | Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.
| |
| − |
| |
| − | Dersom $a = 0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i [[likninger av første grad]].
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | === Tilfellet b = 0 ===
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Dersom $b = 0$ ser likningen slik ut:<br>
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + c = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 1:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 4x^2 - 8 = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | 4x^2 &= 8 \\
| |
| − | x^2 &= \frac84 \\
| |
| − | x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | === Tilfellet c = 0 ===
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − | <br>
| |
| − | Dersom $c = 0$ har vi følgende formel:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + bx = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi løser ved faktorisering:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x (ax + b) = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x = 0 \qquad &\vee \qquad ax + b = 0 \\
| |
| − | x = 0 \qquad &\vee \qquad x = - \frac ba
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 2:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | -3x^2 + 6x = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Løsning ved faktorisering:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x (-3x + 6) = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x = 0 \qquad &\vee \qquad -3x + 6 = 0 \\
| |
| − | x = 0 \qquad &\vee \qquad x = 2
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | == ABC-formelen ==
| |
| − |
| |
| − | En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − | ABC-formelen er
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | når
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + bx + c =0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | *Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger.
| |
| − | *Dersom $b^2-4ac = 0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
| |
| − | *Dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null, får vi ingen løsning.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
| |
| − | :[https://youtu.be/pPhXheHdDMc '''Video eksempel:''' Løser 2. gradslikning med abc formelen]
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 3:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 3x^2 + 2x - 1 =0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Likningen har koeffisenter $a = 3$ , $b = 2$ og $c = -1.$<br>
| |
| − |
| |
| − | Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \\ \\
| |
| − | &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ \\
| |
| − | &= \frac{-2 \pm 4}{6}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Likningen har to ulike løsninger:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \\ \\
| |
| − | x = \frac{1}{3} \qquad &\vee \qquad x = - 1
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"><br>
| |
| − | '''Eksempel 4:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Finn røttene i likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | -x^2 + 4x - 4 =0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Koeffisientene er $a = -1$ , $b = 4$ og $c = -4.$
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\ \\
| |
| − | &= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x = 2$.
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 5:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 3x^2 + 2x + 2 =0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Koeffisientene er $a = 1$ , $b = -2$ og $c = 2$.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ \\
| |
| − | &= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \\
| |
| − | &= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 6:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 4x^2 - 1 =0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Koeffisientene er $a = 4$ , $b = 0$ og $c = -1.$
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Likningen mangler førstegradsleddet ($b = 0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
| |
| − | Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \\ \\
| |
| − | &= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \\ \\
| |
| − | &=\pm \frac{ 4}{8}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Likningen har to løsninger:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br><br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 7:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | -3x^2 + 6x = 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Koeffisentene er $a = -3$ , $b = 6$ og $c = 0.$
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \\ \\
| |
| − | &= \frac{-6 \pm 6}{-6}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c = 0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
| |
| − | :[https://youtu.be/0P8Z9E3XroM '''Video eksempel:''' Hvordan vet vi antall løsninger på en andregradslikning]
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Grafisk fremstilling av andregradslikninger ==
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.
| |
| − | Løsninger i likningen finner vi som verdiene av $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y = 0$.
| |
| − |
| |
| − | Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | [[Bilde:2likn.PNG]]
| |
| − |
| |
| − | <br><br>
| |
| − |
| |
| − | Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x) = 0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen ''to'' steder.
| |
| − |
| |
| − | Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning. Likningen $f(x) = 0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.
| |
| − |
| |
| − | Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x) =0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. <br><br>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Bevis for ABC-formelen ==
| |
| − |
| |
| − | For å bevise ABC-formelen bruker en [[kvadratsetningene|første kvadratsetning]], som vist i det følgende avsnittet.
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | ax^2 + bx + c &= 0 \\ \\
| |
| − | x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0 \\ \\
| |
| − | x^2 + \frac bax &= - \frac ca \\ \\
| |
| − | x^2 + 2\frac {b}{2a}x &= - \frac ca \\ \\
| |
| − | x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 \\ \\
| |
| − | (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
| |
| − | (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
| |
| − | (x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2} \\ \\
| |
| − | (x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \\ \\
| |
| − | x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \\ \\
| |
| − | x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
| |
| − | :[https://youtu.be/of5vPhz4T5U '''Video eksempel:''' Bevis for abc formelen]
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Fullstendig kvadrat ==
| |
| − |
| |
| − | Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
| |
| − | <br>
| |
| − | For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 8: '''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Løs likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 2x^2 - 3x +1 = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi omformer likningen:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0 \\ \\
| |
| − | x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
| |
| − | x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
| |
| − | x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \\ \\
| |
| − | (x - \frac 34)^2 &= \frac {1}{16}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad &\vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \\ \\
| |
| − | x = 1\qquad &\vee \qquad x = \frac {1}{2}
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Andregradslikninger på produktform ==
| |
| − |
| |
| − | Man kan ha andregradslikninger på formen:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | (x + 1)(x – 2) = 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | (x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:
| |
| − |
| |
| − | Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.
| |
| − |
| |
| − | Likningen $mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | I eksemplet
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | (x + 1)(x – 2) = 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$.
| |
| − |
| |
| − | Det gir løsningene $x = -1$ og $x = 2$.
| |
| − |
| |
| − | Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Faktorisering av andregradsuttrykk ==
| |
| − |
| |
| − | Det generelle andregradsuttrykket er $ax^2 + bx + c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.
| |
| − |
| |
| − | Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0.$
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 9:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Faktoriser polynomet
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 6x^2-4x-2
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Så bruker vi formelen over og får:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | 6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 9:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Skriv enklest mulig:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi faktoriserer og får:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | == Sum og produkt av røtter ==
| |
| − |
| |
| − | Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| − |
| |
| − | En fullstendig andregradslikning skrives på formen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | ax^2 + bx + c = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Dersom $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i likningen, så er
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x_1 + x_2 &= - \frac ba \\ \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 &= \frac ca
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| − | '''Eksempel 10:'''
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x = -2$ og $x = 1$. Utover det har vi ingen andre krav.
| |
| − |
| |
| − | <br><br>
| |
| − | Vi får:
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x_1 + x_2 &=- \frac ba \\ \\
| |
| − | -2 + 1 &= - \frac ba \\ \\
| |
| − | a &= b
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a = 1$. Da får vi at $a = 1$ og
| |
| − | $b = 1$.
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | Produktet av røttene må oppfylle likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \begin{aligned}
| |
| − | x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \\ \\
| |
| − | -2 \cdot 1 &= \frac ca \\ \\
| |
| − | c &= -2
| |
| − | \end{aligned}
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Vi får da likningen
| |
| − |
| |
| − | $
| |
| − | \displaystyle
| |
| − | x^2 + x - 2 = 0
| |
| − | $
| |
| − |
| |
| − | Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x = 1$ og for $x = -2.$
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − |
| |
| − | [[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
| |
| − | [[Hovedside]]
| |
| − | [[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]
| |
