Forskjell mellom versjoner av «Andre ordens differensiallikninger»
| Linje 1: | Linje 1: | ||
| − | + | Andre ordens ligninger vil si at ligningene høyst inneholder den andrederiverte av funksjonen vi skal løse for. Den kanskje enkleste formen for andre ordens ligninger kalles homogene og lineære med konstante koeffisienter. Dvs. at ligningen er på formen <tex>f^{,,}+af^,+bf=0</tex>, der <tex>a</tex> og <tex>b</tex> er gitte konstanter. At en ligning er lineær betyr ikke annet enn at de deriverte kun forekommer i første orden og i ulike ledd, dvs. at de ikke er opphøyd i andre tall enn <tex>1</tex> og ikke forekommer flere ganger i et produkt (f.eks. som <tex>f\cdot f^,</tex>). Lineære, homogene ligninger har egenskapen at dersom både f(x) og g(x) er løsninger, er <tex>f(x)+g(x)</tex> (og enhver lineærkombinasjon) også løsning. Dette ser vi lett ved innsetting siden derivasjon er en lineær operasjon (operator), dvs. at <tex>(f+g)^,=f^,+g^,</tex>. At ligningen er homogen betyr at høyresiden (slik ligningen er skrevet over) er identisk lik <tex>0</tex>. Koeffisientene er uttrykkene foran de deriverte, f.eks. er <tex>1</tex>,<tex>a</tex> og <tex>b</tex> koeffisientene til ligningen over. | |
== Løsning av spesialtilfellet <tex>b=0</tex> == | == Løsning av spesialtilfellet <tex>b=0</tex> == | ||
| − | + | Ligningen <tex>f^{,,}+af^,=0</tex> løser vi ved å transformere ligningen til en første ordens ligning. Vi lar <tex>f^,=g</tex>. Da blir <tex>f^{,,}=g^,</tex> og ligningen omskrives til | |
| Linje 10: | Linje 10: | ||
| − | + | Denne løses som en separabel ligning eller ved multiplikasjon med integrerende faktor. Når vi har funnet <tex>g</tex> får vi ligningen <tex>f^,=g</tex> som er også er en separabel første ordens ligning. | |
| Linje 16: | Linje 16: | ||
== Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter == | == Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter == | ||
| − | + | Det fins en generell løsningsmetode for andreordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter. For å forstå denne er det hensiktsmessig å gjøre følgende ansatz: Vi antar at løsningene på ligningen | |
| Linje 22: | Linje 22: | ||
| − | + | er på formen <tex>e^{\lambda x}</tex> der <tex>\lambda</tex> er en konstant som vi blir nødt til å finne. Setter vi inn antagelsen i ligningen får vi | |
| Linje 28: | Linje 28: | ||
| − | + | Her ser vi at vi kan dele med <tex>e^{\lambda x}</tex> slik at vi får en andreordens ligning for <tex>\lambda</tex>. Karakteristisk ligning blir | |
| Linje 34: | Linje 34: | ||
| − | + | som vi enkelt løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet. | |
| + | |||
| + | |||
| + | La oss si at løsningene er <tex>\lambda_1</tex> og <tex>\lambda_2</tex>. Da fins det flere mulige tilfeller av verdier for disse som vi i fortsettelsen skal se nøyere på. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Tilfellet <tex>\lambda_1\neq \lambda_2</tex> der <tex>\lambda_i \in \mathbb{R} \, i\in [1,2]</tex>== | ||
| + | |||
| + | : | ||
Revisjonen fra 5. feb. 2010 kl. 15:15
Andre ordens ligninger vil si at ligningene høyst inneholder den andrederiverte av funksjonen vi skal løse for. Den kanskje enkleste formen for andre ordens ligninger kalles homogene og lineære med konstante koeffisienter. Dvs. at ligningen er på formen <tex>f^{,,}+af^,+bf=0</tex>, der <tex>a</tex> og <tex>b</tex> er gitte konstanter. At en ligning er lineær betyr ikke annet enn at de deriverte kun forekommer i første orden og i ulike ledd, dvs. at de ikke er opphøyd i andre tall enn <tex>1</tex> og ikke forekommer flere ganger i et produkt (f.eks. som <tex>f\cdot f^,</tex>). Lineære, homogene ligninger har egenskapen at dersom både f(x) og g(x) er løsninger, er <tex>f(x)+g(x)</tex> (og enhver lineærkombinasjon) også løsning. Dette ser vi lett ved innsetting siden derivasjon er en lineær operasjon (operator), dvs. at <tex>(f+g)^,=f^,+g^,</tex>. At ligningen er homogen betyr at høyresiden (slik ligningen er skrevet over) er identisk lik <tex>0</tex>. Koeffisientene er uttrykkene foran de deriverte, f.eks. er <tex>1</tex>,<tex>a</tex> og <tex>b</tex> koeffisientene til ligningen over.
Løsning av spesialtilfellet <tex>b=0</tex>
Ligningen <tex>f^{,,}+af^,=0</tex> løser vi ved å transformere ligningen til en første ordens ligning. Vi lar <tex>f^,=g</tex>. Da blir <tex>f^{,,}=g^,</tex> og ligningen omskrives til
- <tex>g^,+ag=0</tex>.
Denne løses som en separabel ligning eller ved multiplikasjon med integrerende faktor. Når vi har funnet <tex>g</tex> får vi ligningen <tex>f^,=g</tex> som er også er en separabel første ordens ligning.
Løsning av andre ordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter
Det fins en generell løsningsmetode for andreordens lineære, homogene ligninger med konstante koeffisienter. For å forstå denne er det hensiktsmessig å gjøre følgende ansatz: Vi antar at løsningene på ligningen
- <tex>f^{,,}+af^,+bf=0</tex>
er på formen <tex>e^{\lambda x}</tex> der <tex>\lambda</tex> er en konstant som vi blir nødt til å finne. Setter vi inn antagelsen i ligningen får vi
- <tex>\lambda^2 e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0</tex>
Her ser vi at vi kan dele med <tex>e^{\lambda x}</tex> slik at vi får en andreordens ligning for <tex>\lambda</tex>. Karakteristisk ligning blir
- <tex>\lambda^2+a\lambda+b=0</tex>,
som vi enkelt løser med f.eks. abc-formelen eller ved fullføring av kvadratet.
La oss si at løsningene er <tex>\lambda_1</tex> og <tex>\lambda_2</tex>. Da fins det flere mulige tilfeller av verdier for disse som vi i fortsettelsen skal se nøyere på.
