1T eksempeloppgave 2015 vår LØSNING
DEL EN
Oppgave 1
a)
$8,20 \cdot 10^9 \cdot 1,50 \cdot 10^{-3}= \\ 12,30 \cdot 10^{9-3} = \\ 1,23 \cdot 10^7$
b)
$\frac{(a^2)^4 \cdot ( \frac ba)^2}{a^3 \cdot b^{-2}} = \frac{a^8 \cdot \frac{b^2}{a^2}}{a^3b^{-3}} = a^{8-5}b^4 = a^3b^4$
Oppgave 2
a)
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = \\ a^2+2ab + b^2 - (a^2-2ab+b^2) = \\ a^2+2ab + b^2 - a^2 + 2ab -b^2 = \\ 4ab$
b)
$\frac{2x+6}{2x^2-18} \\ = \frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3) \\ = \frac{1}{x-3}}$
Oppgave 3
a)
$g(x)= \frac 13x^3-x^2-3x+4 \quad D_g = \R \\ g'(x)= x^2-2x-3 \\ g'(1)= 1-2-3 =-4$
Den momentane vekstfarten i x=1 er -4.
b)
$g'(x)= 0 \\ x^2-2x-3 =0 \\ x=-1 \vee x=3$
Fortegnsskjema:
$g(-1)= - \frac 13 -1 +3+4 = 5 \frac23 \\ g(3)= 9-9-9+4= 5$
Maksimumspunkt i $(-1, \frac{17}{3})$
Minimumspunkt i $(3, 5)$
Oppgave 4
a)
Et kvadrat med omkrets 16 har sider lik 4 og et areal på 16.
En sirkel med omkrets 16 har radius $\frac{8}{\pi}$. Arealet blir da
$A= \pi r^2 \\ A= \pi ( \frac {8}{\pi})^2 \\ A= \frac{64}{\pi}$
som er et større areal enn 16. Sirkelen har størst areal.
b)
$A= \frac{(a+b)}{2} \cdot h \\ h = \frac{2A}{(a+b)}$
c)
De parallelle sidene er x og x + 2 cm. lange.
$18= \frac{x+x+2}{2} \cdot 3 \\ 3x+3 =18 \\ x=5$
Den ene siden er 5 cm lang, den andre 7 cm lang.
Oppgave 5
a)
b)
$A= \frac 12 ab SinC \\ sin 140^{\circ}> sin30^{\circ}$
$\triangle ABC$ har størst areal.
Oppgave 6
a)
$y=ax+b \\ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4-2}{2-1} = 2 \\ y= 2x+b \\ 2= 2\cdot 1+ b \\ b = 0 \\ y=2x$
b)
$f(x)= x^2+4 \\ f'x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+ \Delta x)^2 +4 - x^2 -4}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 + 4 -x^2-4}{\Delta x} \\ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x( 2x + \Delta x )}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x = 2x $
Oppgave 7
a)
b)
Oppgave 8
a)
b)
c)
Oppgave 9
Oppgave 10
a)
Finner arealet av OAB og trekker fra arealet av de mindre trekantene OQP, QBM og MAP.
Areal $triangle PQM $ $ A =16-( \frac{x^2}{2} + \frac{(8-x)2}{2} + \frac{(4-x)4}{2}) \\ A= 16 - \frac{x^2}{2}-8+x-8+2x \\ A= - \frac{x^2}{2} + 3x$
Som skulle vises. (x kan ikke være mindre enn null, eller større enn fire).
b)
$T'(x) = -x + 3 \\ T'(x)=0 \\ x=3 $
Vi ser av fortegnet til andregradsleddet i T at x = 3 gir et maksimumspunkt. Arealtet av trekanten PQM er altså størst når x=3.
T(3) = 4,5