1T 2023 vår LK20 LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag til denne oppgaven laget av Farhan Omar
DEL 1
Oppgave 1
$sin(u)=\frac{8}{10}$
$cos(u)=\frac{6}{10}$
$(sinu)^2+(cosu)^2=\frac{8^2}{10^2}+\frac{6^2}{10^2}=\frac{64+36}{100}=\frac{100}{100}=1$
Oppgave 2
Her kan du bruke abc-formelen for å finne nullpunktene, eller se direkte hvordan uttrykket kan faktoriseres (som gjort her).
$f(x)=x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$
Grafen til f skjærer x-aksen i x=-2 og x=4.
Oppgave 3
Gitt likning $x^3-5x^2-8x+12=(x-1)(x+a)(x-b)$, bestem a og b slik at likningen blir en identitet.
Likningen viser et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side.
Vi bruker polynomdivisjon og deler polynomet med den ene faktoren (x-1), slik at vi finner de to andre faktorene.
Andregradsuttrykket vi får kan videre faktoriseres, enten ved bruk av abc-formelen og nullpunktsfaktorisering, eller ved å se faktorene direkte (som gjort her):
$x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$
Det betyr at for at likningen skal bli en identitet, må vi ha a = 2 og b = -6.
At denne likningen er en identitet, betyr at likningen stemmer for alle verdier av x. Her har vi et tredjegradspolynom på venstre side, som er faktorisert på høyre side. De to sidene må nødvendigvis være like for alle verdier av x.
Oppgave 4
En rasjonal funksjon med vertikal og horisontal asymptote uttrykkes ved $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$
Den vertikale asymptoten er x = 1. Der er funksjonen f(x) ikke definert. Det vil si at nevneren i den rasjonale funksjonen er 0 når x = 1. Altså er nevneren x-1.
Den horisontale asympoten er y = 3. Det betyr at f(x) går mot 3 når x går mot $\pm\infty$. Det betyr at førstegradsleddet i telleren er 3x (siden vi allerede har funnet at førstegradsleddet i nevneret er x).
Skjæringspunktet med andreaksen er i y = 6. Det betyr at konstantleddet i telleren er -6 (siden vi allerede har funnet at konstantleddet i nevneren er -1).
Nullpunktet til f er 2, som vil si at f(2)=0. Dette stemmer med at telleren er 3x-6, fordi 3*2-6 = 6-6 = 0.
Vi har $f(x)=\frac{3x-6}{x-1}$
Oppgave 5
Denne grafen skal skisseres for hånd på eksamen.
Grafen til f kan se ut som den blå grafen på bildet. Der hvor grafen til f' har nullpunkter, vil grafen til f ha ekstremalpunkter (i x=-3.12, x=0 og x=5.12).
Der hvor f' har negativ funksjonsverdi, vil grafen til f synke (når x mindre enn -3.12, og når x er mellom 1 og 5.12).
Der hvor f' har positiv funksjonsverdi, vil grafen til f stige (når x er mellom -3.12 og 1, og når x er større enn 5.12).
DEL 2
Oppgave 1
a)
Bruker Geogebra til å tegne grafen til T, og finner de to nullpunktene i definisjonsområdet: B=(5.8,0) og C=(8.9,0).
Temperaturen er over 0 grader Celsius fra 5,8 til 8,9 måneder etter 1. januar.
Mai: måned nr. 5. I tillegg 0,8*31 = ca. 25 døgn inn i mai (6 døgn igjen av mai). August: måned nr. 8. I tillegg 0,9*31 = ca. 28 døgn inn i august.
Til sammen er temperaturen over 0 grader Celsius: 6 døgn i mai + 30 døgn i juni + 31 døgn i juli + 28 døgn i august = 95 døgn.
b)
Lager punktene E=(3,T(3)) og F=(7,T(7)). Lager en linje mellom dem med knappen "linje", og finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning".
Stigningstallet er 5.04, som betyr at temperaturen stiger med omtrent 5 grader Celsius per måned fra 1. mars til 1. juli.
c)
Tegner grafen til T'(x) og finner nullpunktene G og H, og ekstremalpunktene I og J i definisjonsområdet.
Punkt G forteller at temperaturen er lavest en dag i slutten av februar (måned nr. 2).
Punkt H forteller at temperaturen er høyest en dag i starten av juli (måned nr. 7).
Punkt I forteller at temperaturen har raskest positiv endring en dag i slutten av april (måned nr. 4). Den dagen stiger temperaturen med en fart på ca. 6,9 grader per måned.
Punkt J forteller at temperaturen har raskest negativ endring en dag i slutten av september (måned nr. 9). Den dagen synker temperaturen med en fart på ca. 6,6 grader per måned.
Oppgave 2
a)
Dersom lengden er 60 meter, blir bredden 10 meter. Arealet blir da $60\cdot 10 = 600$ kvadratmeter.
b)
Bruker Excel til å lage en oversikt. Bildet viser oversikten til venstre, og formlene som er brukt til høyre.
Det kan se ut som om Herman sin påstand er riktig. I oversikten er det største arealet når lengden er dobbel så stor som bredden.
c)
Funksjonen $f(x)=x\cdot \frac{80-x}{2}$ viser areal av rektangelet som funksjon av lengden x. Bruker Geogebra til å tegne grafen til f, og til å finne ekstremalpunktet A=(40,800).
Funksjonen viser at rektangelet har størst areal når lengden er 40, og da dobbelt så stor som bredden på 20.
Oppgave 3
Løser oppgaven i CAS.
Linje 1: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ABC.
Linje 2: Bruker cosinussetningen til å bestemme lengden AC.
Linje 3: Bruker cosinussetningen til å bestemme $\angle{ADC}$.
Linje 4: Siden CAS gir svaret i radianer, deler jeg på grader-tegnet for å få $\angle{ADC}$ i grader.
Linje 5: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ACD.
Linje 6: Legger sammen arealet til de to trekantene.
Arealet av figuren ABCD er ca. 50,8.
Oppgave 4
a)
Arealet av hvert rektangel er gitt ved:
$A=l\cdot b = 1\cdot f(x)$
Bruker CAS til å regne ut summen til arealet av de seks rektanglene.
Arealet er av de seks rektanglene er ca. 21,8.
b) og c)
Arealet av 6000 rektangler er ca. 20.
Oppgave 5
Løser oppgaven i CAS. Finner arealet av hver trekant uttrykt ved r (linje 1-3), og løser til slutt likningen for summen av arealene til de tre trekantene (linje 4) for å finne verdien til r.
Linje 1: bruker formelen for areal av en trekant, A = 1/2 * grunnlinje * høyde
Linje 2: arealsetningen. $\angle{ASB}= 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ} = 120^{\circ}$
Linje 3: arealsetningen. $\angle{ASC}= 360^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ} = 150^{\circ}$
Verdien av r er $2\sqrt{2}$.
Oppgave 6
a)
Bruker CAS til å bestemme topp- og bunnpunktene, og ser på grafen at dette er topp- og bunnpunkt (og f.eks. ikke terrassepunkt).
Grafen til f har et toppunkt i (0,2) og et bunnpunkt i (2,-2).
b)
Hvis man tegner en generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd i Geogebra, $f(x)=ax^3+bx^2+d$, og bruker glidere for a, b, og d, vil man se at det alltid er et topp-, bunn-, eller terrassepunkt i x = 0. For eksempel har grafen til $x^3$ et terrassepunkt i x = 0.
Dersom man deriverer denne generelle tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd, f, ser man at den deriverte alltid er lik 0 når x = 0. Det vil si at grafen til f har et topp- bunn- eller terrassepunkt i x = 0, for alle verdier av a, b og d. Et eventuelt annet ekstremalpunktet vil avhenge av verdien til a og b. Jeg bruker CAS for å vise dette:
