Forskjell mellom versjoner av «1T 2021 vår LK20 LØSNING»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
 
(54 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 75: Linje 75:
 
<b>Svar:</b> Alternativ 2, $\frac{m}{n}<\frac{m+2}{n+2}$, er riktig.
 
<b>Svar:</b> Alternativ 2, $\frac{m}{n}<\frac{m+2}{n+2}$, er riktig.
  
<b>Begrunnelse:</b> Siden $m,n\in \mathbb{N}$, det vil si er naturlige tall, altså positive hele tall som 1,2,3... og $n>m$ har vi 0<$\frac{m}{n}<1$ for alle verdier av $m$ og $n$.  Dersom både $m$ og $n$ øker med 2, vil forholdet mellom disse tallene bli større (telleren vil utgjøre en større andel av nevneren). Du kan selv teste det med noen enkle tall.
+
<b>Begrunnelse:</b> Siden $m,n\in \mathbb{N}$, det vil si er naturlige tall, altså positive hele tall som 1,2,3... og $n>m$ har vi $0<\frac{m}{n}<1$ for alle verdier av $m$ og $n$.  Dersom både $m$ og $n$ øker med 2, vil forholdet mellom disse tallene bli større (telleren vil utgjøre en større andel av nevneren). Du kan selv teste det med noen enkle tall.
  
 
==Oppgave 7==
 
==Oppgave 7==
 +
 +
<b>Svar:</b> $a=20$
 +
 +
<b>Begrunnelse:</b>
 +
 +
$f(x)=-5x^2+ax+1$
 +
 +
$f'(x)=-10x+a$
 +
 +
Toppunktet er i $x=2$, setter $f'(2)=0$
 +
 +
$-10\cdot 2+a=0$
 +
 +
$a=20$
 +
 +
==Oppgave 8==
 +
 +
<b>Svar:</b> $r=16, s=2, t=4$
 +
 +
<b>Begrunnelse: </b>
 +
 +
Dette følger av første kvadratsetning. vi har $4x^2+16x+16=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 4+4^2=(2x+4)^2$
 +
 +
=Oppgavetype 2=
 +
 +
I oppgavetype 2 skal du vise utregninger, forklare framgangsmåter du har brukt, og begrunne resultater.
 +
 +
==Oppgave 9==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Skriver tabellen i regnearket på Geogebra, og utfører en regresjonsanalyse. Velger eksponentiell modell.
 +
 +
Modellen for temperaturen T i geleen, x minutter etter avkjøling er: $T(x)=92.5\cdot 0.99^x$
 +
 +
[[File: 1T-V21-Del2-9.png|600px]]
 +
 +
===b)===
 +
 +
[[File: 1T-V21-Del2-9b.png|600px]]
 +
 +
Temperaturen i geleen vil ikke bli lavere enn romtemperaturen, altså 20 grader Celsius. Bruker Geogebra til å finne ut hvor mange minutter det tar før geleen er 20 grader, ved å skrive y=20 og bruke "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og grafen til T. Det tar 155,7 minutter før temperaturen i geleen har nådd 20 grader.
 +
 +
Gyldighetsområdet til modellen er $x\in [0,155.7]$
 +
 +
==Oppgave 10==
 +
 +
Funksjonen $f(x)=x^2-x-6$ har to nullpunkter, x=-2 og x=3. Skissen viser grafen til denne funksjonen.
 +
 +
Skissen kan brukes til å se at ulikheten $x^2-x-6>0$ har løsningene x<-2 og x>3 (de områdene hvor grafen er over x-aksen).
 +
 +
Dette er samme løsninger som for ulikheten $x^2-x>6$.
 +
 +
==Oppgave 11==
 +
 +
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra til å finne et uttrykk for antall fyrstikker f som funksjon av figurnummer x.
 +
 +
$f(x)=2x^2+2x$
 +
 +
[[File: 1T-V21-del2-11.png|500px]]
 +
 +
===a)===
 +
 +
Bruker Excel til å lage en oversikt over antall fyrstikker brukt per figur (bruker da funksjonen jeg fant i Geogebra), og en oversikt over antall fyrstikker brukt totalt. Jeg har bare 10000 fyrstikker totalt, og ser at jeg da kan lage 23 figurer.
 +
 +
[[File: 1T-V21-del2-11b.png|350px]]
 +
 +
[[File: 1T-V21-del2-11c.png|500px]]
 +
 +
===b)===
 +
 +
Jeg har 10000-9200 = 800 fyrstikker igjen etter å ha laget den siste figuren.
 +
 +
==Oppgave 12==
 +
 +
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.
 +
 +
===a)===
 +
 +
[[File: 1T_V21_Del2_12a.png|600px]]
 +
 +
$y=-12x+280$ er en lineær modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.
 +
 +
===b)===
 +
 +
[[File: 1T_V21_Del2_12b.png|600px]]
 +
 +
$y = 280\cdot 0.907^x$ er en eksponentiell modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.
 +
 +
==Oppgave 13==
 +
 +
Bruker CAS i Geogebra.
 +
 +
[[File: 1T_V21_del2_13.png|300px]]
 +
 +
Linje 1: definerer f(x)
 +
 +
Linje 2: Finner x-verdien til punktene hvor den deriverte har verdi 1/2 (stigningstallet til tangenten er 1/2).
 +
 +
Linje 3 og 5: finner uttrykket for tangenten i de to punktene hvor stigningstallet til tangenten er 1/2.
 +
 +
Linje 4 og 6: finner skjæringspunktet til tangentene med x-aksen (y-verdien er lik 0).
 +
 +
Svar: $x=-\sqrt{2}+2$ og $x=\sqrt{2}+2$
 +
 +
==Oppgave 14==
 +
 +
===a)===
 +
 +
[[File: 1T_V21_del2_nyttbilde14a.png]]
 +
 +
===b)===
 +
 +
[[File: 1T_V21_del2_nyttbilde1.png]]
 +
 +
=Oppgavetype 3=
 +
 +
I disse oppgavene får du presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske.
 +
 +
==Oppgave 15==
 +
 +
Jeg bruker glidere i Geogebra til å utforske hvilke verdier av a og b som gir et skjæringspunkt der begge koordinatene er positive hele tall. Sette gliderne til å være hele tall fra 1 til f.eks. 20.
 +
 +
[[File: 1T-V21-del3-15.png|600px]]
 +
 +
Jeg kan bruke grafene til å begynne å se sammenhenger, men jeg kan også finne skjæringspunktet mellom g og f ved regning, ved å sette f=g.
 +
 +
$ax=\frac{b}{x}$
 +
 +
$x^2=\frac{b}{a}$
 +
 +
$x=\sqrt{\frac{b}{a}}$
 +
 +
For at x skal være et helt positivt tall, må b/a gi et kvadrattall. Alle kombinasjoner av b/a som gir et kvadrattall, gir et skjæringspunkt der x er et positivt helt tall.
 +
 +
F.eks:
 +
 +
a=1, b=1,4,9,16,25...
 +
 +
a=2, b=2,8,18,36,50...
 +
 +
a=3, b=3,12,27,...
 +
 +
a=n, b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall.
 +
 +
Både x- og y-koordinatene i skjæringspunktet skulle være positive, hele tall. Jeg må sjekke at alle kombinasjoner av b/a som gir kvadrattall, ikke bare gir en x-koordinat som er et positivt helt tall, men også en y-koordinat som er et positivt helt tall.
 +
 +
Finner y-koordinaten hvis $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$
 +
 +
$f(\sqrt{\frac{b}{a}})=a\cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = a\cdot \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = a\cdot \frac{\sqrt{ab}}{a}=\sqrt{ab}$
 +
 +
Setter inn a=n, b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall.
 +
 +
$y = \sqrt{ab} = \sqrt{n\cdot k\cdot n} = n\sqrt{k}$
 +
 +
Et naturlig tall ganger roten av et kvadrattall vil alltid gi et positivt, helt tall.
 +
 +
Dermed har vi vist at for alle a=n og b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall, så vil skjæringspunktet mellom f og g ha koordinater som er positive, hele tall.
 +
 +
==Oppgave 16==
 +
 +
Cosinussetningen:
 +
 +
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos A$
 +
 +
Siri har likningen:
 +
 +
$a^2=8^2+x^2-8x$
 +
 +
hvilket må bety at
 +
 +
$2 cos A = 1$
 +
 +
$cos A = \frac{1}{2}$
 +
 +
$A=60^o$
 +
 +
Bruker en glider for a i Geogebra, og bruker CAS til å regne ut mulige verdier av x (linje 1 i CAS). Bruker grafikkfeltet til å tegne de ulike trekantene. Ser av linje 2 i CAS at a (n i linje 2) må være minst 7 for at vi skal få en trekant som tilfredsstiller likningen. For eksempel:
 +
 +
[[File: 1T_V21_del3_16.png|600px]]
 +
 +
Er a = 8, får vi en likesidet trekant.
 +
 +
[[File: 1T_V21_del3_16b.png|600px]]
 +
 +
Vi har mange mulige trekanter, videre, f.eks:
 +
 +
[[File: 1T_V21_del3_16c.png|500px]]
 +
 +
[[File: 1T_V21_del3_16d.png|500px]]

Nåværende revisjon fra 30. nov. 2023 kl. 14:07

Eksamen 1T vår 2021 LK20 Fagfornyelsen

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Kristian Saug

Oppgavetype 1

I oppgavetype 1 skal du bare oppgi svaret, uten begrunnelse. Vi gir allikevel en liten begrunnelse her, for å forstå hvordan vi har kommet frem til svaret.

Oppgave 1

Svar: $a=-1$

Begrunnelse: Vi har $f(x) = ax+8$, og punktet $(4,4)$. Løser likningen $f(4)=4$.

$a\cdot 4 + 8 = 4 $

$ 4a = 4-8 $

$ a = \frac{-4}{4}$

$ a = -1 $

Oppgave 2

Svar: $BC = 6$

Begrunnelse: $sin\,A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}=\frac{6}{10} \quad \Rightarrow \quad BC = 6$

Oppgave 3

Svar: $k=-2$

Begrunnelse:

Ser at $x=2$ er løsningen for $x^3+x^2-2x-8=0$. Da må k være lik -2.

Oppgave 4

Svar: $k=-1$

Begrunnelse: Dersom likningen bare har ett svar, er diskriminanten i andregradsformelen lik 0.

$(2k)^2-4\cdot 1\cdot (-2k-1)=0$

$4k^2+8k+4=0$

$4(k^2+2k+1)=0$

$k=-1$

Oppgave 5

Svar: 280 km

Begrunnelse:

$A(x)=1200$

$B(x)=\frac{10}{4} x+500$

Setter A(x)=B(x):

$\frac{10}{4} x+500 = 1200$

$x=\frac{700\cdot 4}{10}$

$x=280$

Oppgave 6

Svar: Alternativ 2, $\frac{m}{n}<\frac{m+2}{n+2}$, er riktig.

Begrunnelse: Siden $m,n\in \mathbb{N}$, det vil si er naturlige tall, altså positive hele tall som 1,2,3... og $n>m$ har vi $0<\frac{m}{n}<1$ for alle verdier av $m$ og $n$. Dersom både $m$ og $n$ øker med 2, vil forholdet mellom disse tallene bli større (telleren vil utgjøre en større andel av nevneren). Du kan selv teste det med noen enkle tall.

Oppgave 7

Svar: $a=20$

Begrunnelse:

$f(x)=-5x^2+ax+1$

$f'(x)=-10x+a$

Toppunktet er i $x=2$, setter $f'(2)=0$

$-10\cdot 2+a=0$

$a=20$

Oppgave 8

Svar: $r=16, s=2, t=4$

Begrunnelse:

Dette følger av første kvadratsetning. vi har $4x^2+16x+16=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 4+4^2=(2x+4)^2$

Oppgavetype 2

I oppgavetype 2 skal du vise utregninger, forklare framgangsmåter du har brukt, og begrunne resultater.

Oppgave 9

a)

Skriver tabellen i regnearket på Geogebra, og utfører en regresjonsanalyse. Velger eksponentiell modell.

Modellen for temperaturen T i geleen, x minutter etter avkjøling er: $T(x)=92.5\cdot 0.99^x$

1T-V21-Del2-9.png

b)

1T-V21-Del2-9b.png

Temperaturen i geleen vil ikke bli lavere enn romtemperaturen, altså 20 grader Celsius. Bruker Geogebra til å finne ut hvor mange minutter det tar før geleen er 20 grader, ved å skrive y=20 og bruke "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og grafen til T. Det tar 155,7 minutter før temperaturen i geleen har nådd 20 grader.

Gyldighetsområdet til modellen er $x\in [0,155.7]$

Oppgave 10

Funksjonen $f(x)=x^2-x-6$ har to nullpunkter, x=-2 og x=3. Skissen viser grafen til denne funksjonen.

Skissen kan brukes til å se at ulikheten $x^2-x-6>0$ har løsningene x<-2 og x>3 (de områdene hvor grafen er over x-aksen).

Dette er samme løsninger som for ulikheten $x^2-x>6$.

Oppgave 11

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra til å finne et uttrykk for antall fyrstikker f som funksjon av figurnummer x.

$f(x)=2x^2+2x$

1T-V21-del2-11.png

a)

Bruker Excel til å lage en oversikt over antall fyrstikker brukt per figur (bruker da funksjonen jeg fant i Geogebra), og en oversikt over antall fyrstikker brukt totalt. Jeg har bare 10000 fyrstikker totalt, og ser at jeg da kan lage 23 figurer.

1T-V21-del2-11b.png

1T-V21-del2-11c.png

b)

Jeg har 10000-9200 = 800 fyrstikker igjen etter å ha laget den siste figuren.

Oppgave 12

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

a)

1T V21 Del2 12a.png

$y=-12x+280$ er en lineær modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.

b)

1T V21 Del2 12b.png

$y = 280\cdot 0.907^x$ er en eksponentiell modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.

Oppgave 13

Bruker CAS i Geogebra.

1T V21 del2 13.png

Linje 1: definerer f(x)

Linje 2: Finner x-verdien til punktene hvor den deriverte har verdi 1/2 (stigningstallet til tangenten er 1/2).

Linje 3 og 5: finner uttrykket for tangenten i de to punktene hvor stigningstallet til tangenten er 1/2.

Linje 4 og 6: finner skjæringspunktet til tangentene med x-aksen (y-verdien er lik 0).

Svar: $x=-\sqrt{2}+2$ og $x=\sqrt{2}+2$

Oppgave 14

a)

1T V21 del2 nyttbilde14a.png

b)

1T V21 del2 nyttbilde1.png

Oppgavetype 3

I disse oppgavene får du presentert en situasjon eller en problemstilling som du selv må undersøke og utforske.

Oppgave 15

Jeg bruker glidere i Geogebra til å utforske hvilke verdier av a og b som gir et skjæringspunkt der begge koordinatene er positive hele tall. Sette gliderne til å være hele tall fra 1 til f.eks. 20.

1T-V21-del3-15.png

Jeg kan bruke grafene til å begynne å se sammenhenger, men jeg kan også finne skjæringspunktet mellom g og f ved regning, ved å sette f=g.

$ax=\frac{b}{x}$

$x^2=\frac{b}{a}$

$x=\sqrt{\frac{b}{a}}$

For at x skal være et helt positivt tall, må b/a gi et kvadrattall. Alle kombinasjoner av b/a som gir et kvadrattall, gir et skjæringspunkt der x er et positivt helt tall.

F.eks:

a=1, b=1,4,9,16,25...

a=2, b=2,8,18,36,50...

a=3, b=3,12,27,...

a=n, b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall.

Både x- og y-koordinatene i skjæringspunktet skulle være positive, hele tall. Jeg må sjekke at alle kombinasjoner av b/a som gir kvadrattall, ikke bare gir en x-koordinat som er et positivt helt tall, men også en y-koordinat som er et positivt helt tall.

Finner y-koordinaten hvis $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$

$f(\sqrt{\frac{b}{a}})=a\cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = a\cdot \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = a\cdot \frac{\sqrt{ab}}{a}=\sqrt{ab}$

Setter inn a=n, b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall.

$y = \sqrt{ab} = \sqrt{n\cdot k\cdot n} = n\sqrt{k}$

Et naturlig tall ganger roten av et kvadrattall vil alltid gi et positivt, helt tall.

Dermed har vi vist at for alle a=n og b=k*n, der n er et naturlig tall og k er et kvadrattall, så vil skjæringspunktet mellom f og g ha koordinater som er positive, hele tall.

Oppgave 16

Cosinussetningen:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos A$

Siri har likningen:

$a^2=8^2+x^2-8x$

hvilket må bety at

$2 cos A = 1$

$cos A = \frac{1}{2}$

$A=60^o$

Bruker en glider for a i Geogebra, og bruker CAS til å regne ut mulige verdier av x (linje 1 i CAS). Bruker grafikkfeltet til å tegne de ulike trekantene. Ser av linje 2 i CAS at a (n i linje 2) må være minst 7 for at vi skal få en trekant som tilfredsstiller likningen. For eksempel:

1T V21 del3 16.png

Er a = 8, får vi en likesidet trekant.

1T V21 del3 16b.png

Vi har mange mulige trekanter, videre, f.eks:

1T V21 del3 16c.png

1T V21 del3 16d.png