1T 2011 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

2) <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

b)

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

c)

Begynner med å faktorisere uttrykket:

<tex>x^2-x<0 \Leftrightarrow x(x-1)<0 </tex>

Tegner så fortegnsskjema:

<tex>x \in <0,1></tex>

d)

1) E

2) C

3) J

4) B

5) G

6) H

e)

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

f)

1)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

	Sommerjobb S	Ikke sommerjobb <tex>\bar{S}</tex>	Sum
Ferie F	<tex>10</tex>	<tex>4-2=2</tex>	<tex>10+2=12</tex>
Ikke ferie <tex>\bar{F}</tex>	<tex>16-10=6</tex>	<tex>2</tex>	<tex>6+2=8</tex>
Sum	<tex>16</tex>	<tex>20-16=4</tex>	<tex>20</tex>

2)

I tabellen fant vi at 12 elever skal på ferie, og fra oppgaveteksten vet vi at det er 20 elever i klassen. Da blir sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen skal på ferie <tex>\frac{12}{20}=\frac 35=0,60=60 \percent</tex>

Oppgave 2

a)

b)

Sekanten er gitt ved

<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

c)

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align} </tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

Oppgave 3

a)

Her er <tex>AB=1</tex>, og <tex>BE=\frac 12 \cdot BC= \frac 12\cdot 1=\frac 12</tex>. Lengden av <tex>AE</tex> blir da:

<tex>AE^2=AB^2+BE^2 \Leftrightarrow AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+\left( \frac 12\right)^2}=\sqrt{(\frac 22)^2+\left( \frac 12\right)^2}=\sqrt{\frac {2^2}{2^2}+\frac {1^2}{2^2}}=\sqrt{\frac{4+1}4}=\sqrt{\frac{5}4}=\frac {\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt 5}2</tex>

b)

Areal av trekant AEF:

<tex> A = 1 - 2\frac{1\cdot \frac{1}{2}}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} = \frac 88 - \frac 48 - \frac 18 = \frac 38</tex>

c)

<tex>A= \frac12 abSinC \\ \frac 38 = \frac 12 \cdot \frac{\sqrt5}{2} \cdot \frac{\sqrt5}{2}SinA \\ \frac38 = \frac 58 SinA \\Sin A = \frac35</tex>

Del 2

Oppgave 4

a)

b)

Grafisk:

1) Man ser fra grafen at når bilen slipper ut 150g/km er farten enten 60 km/t eller 86km/t.

2) Man ser fra grafen at det laveste utslippet er 142g/km, da er farten 73km/t

Ved regning:

1)

<tex>f(x)=150 \\ 0,046x^2-6,7x + 386 = 150 \\ 0,046x^2-6,7x + 236 = 0 \\ x = \frac{6,7 \pm \sqrt{6,7^2-4 \cdot 0,046 \cdot 236}}{2 \cdot 0,046} = \frac{6,7 \pm 1,21}{0,092}\\ x =59,7 \quad \vee \quad x = 86</tex>

2)

<tex>f'(x)=0,092x-6,7 \\ f'(x)=0 \\ 0,092x - 6,7 = 0 \\ x = 72,8 </tex>

c)

<tex>f(70) = 0.046 \cdot 70^2 - 6,7 \cdot 70 +386 = 142,4 </tex>

På en halv time i 70 km/t beveger bilen seg 35km.

Utslippet blir da 4984 gram, altså ca 5kg.

Oppgave 6:

a)

1)Det var ca. 15 grader. (fra graf der den krysser y aksen)

2)Det ble varemet i ca. 5 minutter og var 90 grader når de ble satt i kjøleskepet.

b)

Grafen for oppvarming, fra null til fem minutter ser ut som en rett linje.:

f(x) = 15x + 15

f(x)= 100

15x + 15 = 100

Det vil ta 5 minutter og 40 sekunder.

c)

<tex> f(x) = 115,82 \cdot 0,94^x x \geq \\ f(x)> 60 \\ 115,82 \cdot 0,94^x + 5 > 60 \\ 0,94^x > 0,4748 \\ xlg0,94 > lg 0,4748 \\ x < \frac{lg 0,4748}{lg 0,94} \\ x \in [5,12> </tex>

d)

5 grader.

Oppgave 7:

a)

LARS	BÅRD	Resultat
papir	papir	U
saks	saks	U
stein	stein	U
stein	saks	V - Lars
papir	stein	V - Lars
saks	papir	V - Lars
papir	saks	V - Bård
stein	papir	V - Bård
saks	stein	V - Bård

b)

Fra tabellen i a ser man at det er tre gunstige utfall for at Bård vinner, av ni mulige utfall. 3/9 = 1/3. Dvs. P(B) = 1/3.

Oppgave 8:

a)

<tex>AC=BD \wedge AB=CD \wedge AD = BC \\ AC \cdot BC = AB \cdot CD + AD \cdot BC \\ AC^2 = AB^2 + AD^2 </tex>

Det er Pytagoras setning.

b)

Likesidet trekant: AB = BC = AC

<tex>AB \cdot PC = AP \cdot BC + PB \cdot AC \\ AB \cdot PC = AP \cdot AB + PB \cdot AB \\ PC= PA + PB</tex>