Del 1
Oppgave 1
a)
Produktregelen for derivasjon gir at
b)
Potensregelen og kjerneregelen for derivasjon gir at
Oppgave 2
a)
La . Da er . Integralet blir dermed
, der er en integrasjonskonstant.
b)
Vi bruker delvis integrasjon. Det gir
Oppgave 3
a)
Vi har gitt punktene , og , som vi betrakter som vektorer. Da er sidene i
, og .
Siden prikkproduktene mellom hvert par av sider (betraktet som vektorer) er ulik , er ingen av vinklene rette, altså er ikke trekanten rettvinklet.
b)
Koordinatet til punktet er ikke entydig bestemt siden det er flere måter å utvide trekanten til et parallellogram.
Vi kan f.eks. la være gitt som . Altså får vi koordinatet
Oppgave 4
a)
Vi har gitt ligningen $y - y = 0$.
Karakteristisk ligning blir derfor , med løsninger . Løsningen blir derfor
.
b)
Initialverdiene og er gitt. Setter vi disse inn i løsningen fra forrige deloppgave får vi
Legger vi sammen de to ligningene får vi
, så . Da er .
Oppgave 5
Vi har gitt den uendelige rekken .
Den kan skrives som , som vi gjenkjenner som en geometrisk rekke.
Det er kjent at geometriske rekker konvergerer dersom . Siden vil rekken konvergere.
Formelen for geometriske rekker er . Altså er
Oppgave 6
Vi har gitt den periodiske funksjonen . Vi kan uten tap av generalitet anta at :
For kan vi redefinere konstanten til og flytte innenfor .
For å finne legger vi merke til at , altså er . Videre er , altså er , men siden kan vi like gjerne velge .
For å finne og , legger vi nå merke til at . I toppunktet er til slutt , så .
Funksjonen blir derfor .
Oppgave 7
Oppgave 8
Vi har gitt formelen som skal bevises med induksjon.
Først ser vi at formelen er riktig for , siden
Anta at formelen er riktig for en bestemt . Vi legger til neste ledd av summen på hver side og får
.
Siden , ser vi at . Altså er
, så formelen er riktig for . Altså er formelen riktig for alle positive heltall .
Del 2
Oppgave 3
a)
1)
Dersom må og stå vinkelrett på hverandre.
2)
Dersom må og være parallelle.
3)
Dersom må enten og stå vinkelrett på hverandre, eller
og være parallelle.
b)
Vi har at og . Altså er
c)
Arealet av trekanten er , der vi har brukt formelen fra forrige deloppgave.
Dersom er vektorene og vinkelrette. Da er trekanten rettvinklet, så arealet blir . Dersom må og være parallelle, så trekanten er degenerert, dvs. at to av hjørnene ligger på en linje, så arealet er .
d)
Vi har at og . Da er ,
og .
Arealformelen fra forrige deloppgave gir nå at
Oppgave 4
a)
Rekken har ledd med gjennomsnitt . Altså er summen . For at , må .
b)
Rekken kan skrives som , altså en geometrisk rekke. Siden er rekken konvergent, og konvergerer mot .
Oppgave 5
a)
Ellipsen er gitt. Vi flytter over det første leddet og ganger hele ligningen med og får
b)
Volumet av rotasjonslegemet er
Oppgave 6
a)
Ligningen til en tangent er generelt . Stigningstallet Tangenten må gå gjennom punktet , så , altså er .
Punktet er bestemt av at tangentlinjen skjærer x-aksen, altså må i . Setter vi inn i ligningen for tangenten får vi x-koordinaten til . Vi får , altså er . Så . Videre er der , altså må , som gir at . Derfor er . Til slutt er .
b)
.
Arealet av er
c)
Dette er åpenbart fra de beregningene vi har gjort i forrige deloppgave. Arealet til trekanten er . Området under grafen til er , så arealet av det andre området innenfor trekanten er . Altså er området under grafen dobbelt så stort som det andre området.