Vektorprodukt
Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.
Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)
Vi bruker notasjonen
Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,
Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir
.
Her tolker vi
Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at
Geometrisk tolkning
Vektorproduktet
Absoluttverdien av vektorproduktet
Absoluttverdien
er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at
der
Eksempler
Beregning av vektorprodukt
Gitt vektorene
Høyrehåndsregelen
Vi har vektoren
Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med
Regneregler
Vektorproduktet skrives
<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \ \
(\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\ \
(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math>
Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:
Bruksområder
Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:
Volumet av en trekantet pyramide
bestemt av vektorene
Volumet av en firkantet pyramide
bestemt av vektorene
Volumet av et parallellepiped
bestemt av vektorene
Arealet at parallellogram
utspent av vektorene
Arealet av en trekant
utspent av vektorene