Gruppeteori

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La <math>G</tex> være en ikketom mengde med <math>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <math>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:

1. <math>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)

2. <math>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)

3. <math>\exists e \in G</tex> slik at <math>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)

4. <math>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <math>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)

5. <math>a*b=b*a</tex>

En gruppe <math>G</tex> med operasjon <math>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <math>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <math>G</tex>, og la operasjonen være implisert.

For en <math>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <math>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <math>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene

1. <math>a^n*a^m=a^{n+m}</tex>

2. <math>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex>

3. <math>a^0 = e</tex>

Eksempel 1

Heltallene <math>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <math>e=0</tex> og inverser ved <math>a^{-1}=-a</tex>.

Lignende eksempler er de rasjonale tallene <math>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <math>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <math>\mathbb{C}</tex>.

Er <math>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <math>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <math>\mathbb{Q}</tex>, <math>\mathbb{C}</tex> og <math>\mathbb{Z}</tex>.

Eksempel 2

La <math>X</tex> være en mengde, og la <math>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <math>X</tex>. For <math>U,V\in B(X)</tex>, definer

<math>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex>

definer så

kalt den symmetriske differansen av <math>U</tex> og <math>V</tex>.

Da er <math>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <math>e=\emptyset</tex> og <math>U^{-1}=U</tex> for alle <math>U\in B(X)</tex>.

Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at <math>a*b=a*c</tex> eller <math>b*a=c*a</tex>. Da er <math>b=c</tex>

Bevis: <math>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.

Identitetselementet er unikt

Anta at <math>e_1</tex> og <math>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <math>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .

Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <math>b</tex> slik at <math>a*b=a</tex> for en <math>a</tex>, så er <math>b=e</tex>.

Inverser er unike

Anta at <math>a*b=e</tex>. Da er <math>b=a^{-1}</tex>. Anta at <math>c*a=e</tex>. Da er <math>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.

Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer <math>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <math>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.

Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <math>n</tex>.

Undergrupper

La <math>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <math>H</tex> være en ikketom undermengde av <math>G</tex>, notert <math>H\subset G</tex>. Da kalles <math>(H,*)</tex> en undergruppe av <math>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <math>G</tex>, notert ved <math>H\leq G</tex>.

To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <math>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <math>G</tex> skriver vi <math>H<G</tex>.

Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper

De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <math>e</tex> må være et medlem i <math>H</tex>, og for hvert element i <math>H</tex>, må inversen også være et medlem.

Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <math>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <math>a,b \in H</tex>, så er <math>a*b^{-1}\in H</tex>.

Ettersom <math>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <math>a\in H</tex>. Dermed har vi at <math>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <math>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <math>b\in H</tex>, har vi <math>b^{-1}\in H</tex>, så <math>a*b \in H</tex> og <math>H</tex> er dermed lukket.

Orden

Ordenen til en gruppe <math>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <math>G</tex>, notert <math>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <math>a \in G</tex> og lar <math>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <math>H</tex> være en abelsk undergruppe av <math>G</tex>, og vi kaller da <math>H</tex> undergruppen av <math>G</tex> generert av <math>a</tex> og skriver <math>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <math>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <math>a</tex>, det vil si <math>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <math>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <math>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <math>a^n=e</tex>, og <math>o(a)</tex> er da den minste slike <math>n</tex>.

Sykliske grupper

En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <math>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <math>1</tex>.

Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <math>G</tex> er generert av <math>a</tex>, at <math>H<G</tex> og at <math>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <math>a^n\in H</tex> med <math>m<n</tex>. Hvis <math>m</tex> ikke deler <math>n</tex>, kan ikke <math>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</tex>, ettersom <math>a^{n-m}\in H</tex> og <math>0<n-m<m</tex>. Altså må <math>m</tex> dele <math>n</tex>. Dermed er <math>H</tex> generert av <math>a^m</tex> og er dermed syklisk.

Sideklasser

La <math>H<G</tex>, og se på relasjonen <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en ekvivalensrelasjon på mengden <math>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved

For å se dette, merk at <math>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.

Mengden <math>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <math>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <math>H</tex>

Alternativt kan vi la <math>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da

som kalles en venste sideklasse til <math>H</tex>.

Ettersom <math>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:

1. <math>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex>

2. <math>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex>

3. <math>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex>

4. <math>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex>

5. Mengden av høyre sideklasser av <math>H</tex> partisjonerer <math>G</tex>.

6. <math>a</tex> og <math>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <math>a*b^{-1}\in H</tex>.

Lagranges Teorem

La <math>a\in G</tex>. Da er funksjonen <math>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <math>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <math>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.

Lagranges teorem sier at dersom <math>H\leq G</tex> og <math>o(G)<\infty</tex>, så er <math>o(H)</tex> en divisor til <math>o(G)</tex>.

Beviset er elementært når vi vet at <math>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <math>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <math>H</tex> partisjonerer <math>G</tex>. Anta derfor at

da følger det at

som beviser teoremet.

Indeksen til en undergruppe <math>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <math>H</tex> i <math>G</tex> og noteres som <math>[G:H]</tex>.

For å se at <math>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <math>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.

Verdien til <math>[G:H]</tex> er lik tallet <math>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at

eller

Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:

1. Hvis <math>o(G)<\infty</tex> og <math>a\in G</tex>, så er <math>o(a)</tex> en divisor til <math>o(G)</tex>.

2. Hvis <math>o(G)<\infty</tex>, så er <math>a^{o(G)}=e</tex> for alle <math>a\in G</tex>.

3. La <math>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <math>p</tex> sykliske.

Normale undergrupper og kvotientgrupper

La <math>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.

1. Hvis <math>a\in G</tex>, så er <math>aHa^{-1}=H</tex>

2. Hvis <math>a\in G</tex>, så er <math>aHa^{-1}\subset H</tex>

3. Hvis <math>a\in G</tex>, så er <math>aH=Ha</tex>

4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.

En undergruppe <math>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <math>G</tex>.

For enhver gruppe <math>G</tex> er <math>G</tex> selv og <math>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <math>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.

Kvotientgrupper

Hvis <math>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <math>N</tex> på følgende måte.

La <math>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <math>N</tex>. Dersom <math>S_1=Na</tex> og <math>S_2=Nb</tex>, definer produktet <math>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <math>N</tex> og inverser er gitt ved <math>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <math>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <math>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.

Homomorfier

La <math>(G,*)</tex> og <math>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <math>G</tex> til <math>H</tex> er en transformasjon

<math>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex>

som bevarer gruppestrukturen, dvs.

La <math>G</tex> og <math>H</tex> ha identitetselementer <math>e</tex> og <math>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som

De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.

1. <math>\phi(e)=\bar{e}</tex>

2. <math>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex>

3. Dersom <math>A</tex> er en undergruppe av <math>G</tex>, er <math>\phi(A)</tex> en undergruppe av <math>H</tex>. Det følger at <math>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <math>H</tex>.

4. Dersom <math>B</tex> er en undergruppe av B, er <math>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <math>G</tex>

5. Dersom <math>\phi</tex> er injektiv, er <math>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex>

6. <math>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <math>G</tex>

7. Dersom <math>h\in H</tex>, er <math>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <math>\text{ker}(\phi)</tex>

8. Komposisjonen av to homomorfier <math>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <math>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <math>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex>

9. Dersom <math>\phi</tex> er en bijeksjon, er <math>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <math>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <math>G\simeq H</tex>. Hvis <math>G=H</tex> kalles <math>\phi</tex> en automorfi.

10. La <math>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:

i) <math>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <math>\phi(A)\leq H</tex>

ii) <math>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <math>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.

iii) <math>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <math>H</tex> er syklisk.

Det første isomorfiteoremet

Anta at <math>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er

<math>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex>

definert ved <math>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <math>\text{ker}(\pi)=N</tex>.

Hvis i tillegg <math>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <math>N</tex>, har vi <math>G\simeq H</tex>.

Bevis:

Ettersom <math>\phi</tex> har kjerne <math>N</tex> vil førbildet av enhver <math>h\in H</tex> være et sideklasse av <math>N</tex>:

<math>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <math>g\in G</tex>.

Anta at <math>h_1,h_2\in H</tex> og <math>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <math>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <math>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <math>H</tex> til <math>G/N</tex>.

Anta videre at <math>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <math>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <math>h\in H</tex> slik at <math>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <math>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <math>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.

Ettersom <math>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <math>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.

Generellt gjelder det at dersom <math>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <math>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>

Senteret til en gruppe

Se på funksjonen <math>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <math>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <math>a,g\in G</tex>

Da er <math>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <math>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <math>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <math>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <math>\text{Inn}(G)</tex>.

Dermed er <math>\phi</tex> en homomorfi fra <math>G</tex> til <math>\text{Inn}(G)</tex>.

Kjernen til <math>\phi</tex> er gitt ved <math>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <math>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <math>G</tex> og kalles senteret til <math>G</tex>.

Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <math>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.

Dersom <math>G/Z(G)</tex> er syklisk, er <math>G</tex> en abelsk gruppe, og dermed er <math>G=Z(G)</tex> og <math>G/Z(G)</tex> er triviell.

Ytre produkter av grupper

La <math>G</tex> og <math>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <math>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex>

Med operasjonen <math>*</tex> definert slik at <math>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <math>g</tex>. ene multipliseres i <math>G</tex> osv, blir dette en gruppe.

Undergrupper

Hvis <math>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <math>A\times B</tex>, der <math>A\leq G</tex> og <math>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <math>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.

Spesiellt har vi de normale undergruppene <math>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <math>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <math>G</tex> og <math>H</tex>. Dermed er både <math>G</tex> og <math>H</tex> normale undergrupper til <math>G\times H</tex>.

Definer projeksjonshomomorfien <math>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <math>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <math>\pi_G</tex> kjerne <math>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <math>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <math>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <math>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.

Gruppen (Z,+)

I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.

Vi vil studere <math>(Z,+)</tex>, som heretter noteres som <math>Z</tex>.

Akkurat som vi for generelle grupper noterte <math>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n\text{ elementer}}</tex> vil vi her notere <math>na=\underbrace{a+a+\,...\,+a}_{n\text{ elementer}}</tex>

Undergrupper og kvotienter

For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.

Vi kan notere ved <math>nZ</tex> undergruppen av <math>Z</tex> bestående av tall som er delelige på <math>n</tex>. Homomorfien som definerer den er

<math>m_n(a)=na</tex> der <math>a,n\in Z</tex>.

Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av <math>Z</tex> er på denne formen.

For å se dette, anta at <math>a</tex> er det minste positive elementet i <math>G < Z</tex>, og at det finnes et element <math>b\in G</tex> slik at <math>b>a</tex>. Da kan <math>b</tex> skrives unikt på formen <math>b=as+r</tex>, der <math>r,s\in Z</tex> og <math>0\leq r < |a|</tex>. Antagelsken er at <math>r\neq 0</tex>, men ettersom <math>G</tex> er lukket under addisjon, betyr dette at <math>b-as=r\in G</tex>, som er en motsigelse fordi <math>a</tex> er det minste positive elementet i <math>Z</tex>. Altså må <math>r=0</tex> og <math>G=aZ</tex>.

Sideklassene til <math>nZ</tex> blir altså på formen <math>b+nZ</tex> der <math>b\in [0,n-1]\subset Z</tex>.

Symmetrigruppen på n elementer