Aritmetriske rekker
Aritmetisk progresjon
En aritmetisk følge er en tallfølge, <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> (<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...}</tex>), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</tex>.
Eksempel
- Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</tex>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</tex>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</tex>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</tex>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</tex>, så <math>a_3=2+5=7</tex> osv.
Aritmetisk rekke (sum)
En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</tex> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</tex> med et endelig antall ledd <math>N</tex>. Den <math>n</tex>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</tex> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</tex>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</tex> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</tex> ledd:
<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</tex>
Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</tex> og den konstante differansen <math>d</tex>.
Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</tex>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</tex>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</tex>.
Eksempel
- La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</tex>. Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55</tex>